Determinar si una fórmula es válida mediante equivalencias

Question

Determinar si una fórmula es válida mediante equivalencias

Ejemplos:

Valid. Proof:
A  (B  A)  ¬A  (¬B  A)  ¬A  A  ¬B  true  ¬B  true

A  (A  B). Answer: Not valid. 
Model: A 7 false, B 7 false.

Aquí están mis intentos de un par de problemas:

(1) (A  B)  (A  ¬B)
(A  B)  (A  ¬B): Answer Invalid
Model: AFalse, BTrue

(2) (¬(A  B))  ¬B:

Este está incompleto

(¬(A  B))  ¬B  ((A  B))  B 

No estoy muy seguro de cómo hacer pruebas por equivalencia. Sé que aquí se utilizan las leyes de deMorgan, pero me cuesta entender cómo aplicarlas a problemas reales.

Answer 1

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\begin{align}(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B)&\equiv A\land(B\lor \lnot B)\tag{1) Distributive Law} \\ \\ &\equiv A \land \text{true}\tag{2, LEM}\\ \\ &\equiv A\end{align}

(1) Entonces, si $A$ es falso, (y $B$ es verdadera o falsa), la expresión se evalúa como falsa. En cambio, si $A$ es verdadera, la afirmación es verdadera. Así que el valor de verdad de la afirmación es "contingente".

*NOTA: "LEM" es la abreviatura de la Ley del Medio Excluido. $$ $$ \begin{align}(\lnot(A \lor B)) \to \lnot B &\equiv \lnot\lnot (A\lor B) \lor \lnot B \tag{2}\\ \\ &\equiv (A\lor B)\lor \lnot B\\ \\ &\equiv A \lor (B \lor \lnot B)\\ \\ &\equiv A \lor \text{true} \\ \\ &\equiv \text{true}\end{align}

Nótese que esta afirmación (2), es una tautología, verdadera sin importar los valores de verdad asignados a $A, B$ . Te dejaré