algunas preguntas en un artículo de E. H. Neville (1949) sobre la serie Farey?

Question

Estoy leyendo el periódico

MR0029924: Neville, E. H. The structure of Farey series. Proc. London Math. Soc. (2) 51, (1949). 132-144. (Revisor: W. H. Simons)

y por ahora se me plantean dos preguntas;

1. para la demostración del Teorema 1, dice que:

"Este teorema es un corolario inmediato del par de desigualdades..." pero me lleva casi una página demostrarlo. ¿Hay alguna manera más simple que me perdí.

2. Parece que el Teorema 3 en lugar de

"...diferencia $|vx—uy|$ tiene el valor 1 si y sólo si..."

debe ser

"...diferencia $|vx—uy|$ tiene el valor mayor que 1 si y sólo si ..."

¿Hay algún comentario al respecto? Gracias.

Answer 1

Para el Teorema 1, a partir de $bu-av\ge 1$ y $cv-du\ge 1$ tenemos $$cbu-cav\ge c$$ y $$acv-adu\ge a.$$ La adición de estos elimina $v,$ dando $u=u(bc-ad)\ge c+a.$

Del mismo modo, al eliminar $u$ obtenemos $v=v(-ad+bc)=d(bu-av)+b(cv-du)\ge d+b.$

Adenda (después de la aceptación). Para el teorema 3, si $|vx-uy|=1$ entonces por el Teorema 1, $no$ racional entre $u/v$ y $x/y$ puede tener un denominador menor que $v+y.$ Tienes razón.