Derivación de la media de la distribución geométrica

Question

Se me escapa algo que podría ser trivial al derivar la media de la función de distribución geométrica utilizando la identidad del valor esperado

$$ \sum_x x \theta (1-\theta)^{x-1}. $$

Answer 1

Dejar $\alpha=1-\theta$ tenemos $$ \sum_{x=1}^\infty x \theta (1-\theta)^{x-1} = \theta\sum_{x=1}^\infty x \alpha^{x-1} = \theta \sum_{x=1}^\infty \frac{d}{d\alpha} \alpha^x = \theta\frac{d}{d\alpha}\sum_{x=1}^\infty \alpha^x. $$ Suma la serie geométrica. Obtendrás una expresión que podrás diferenciar fácilmente con respecto a $\alpha$ . Por último, ponga $1-\theta$ en lugar de $\alpha$ .

Answer 2

Sugerencia: para $|r|<1$

$$\sum_{k=1}^{\infty} k r^k = \frac{r}{(1-r)^2}$$

Answer 3

\begin{align} E(X)&=\sum_xx\theta(1-\theta)^{x-1}\\&=\theta(1-(1-\theta))^{-2}=\frac{1}{\theta} \end{align}

Alternativa: Utilizar la función generadora de probabilidad (PGF)

Aquí $P_X(t)=E(t^X)=(1-(1-\theta)t)^{-1}$ si $|t|<\frac{1}{1-\theta}$

Así que $E(X)=P'_X(t)|_{t=1}=\frac{1}{\theta}$

Alternativa: Utilizar la función generadora de momentos (MGF)

$M_X(t)=E(e^{tX})=(1-(1-\theta)e^t)^{-1}$ si $|t|<\log\left[\frac{1}{1-\theta}\right]$

Así que $E(X)=M'_X(t)|_{t=0}=\frac{1}{\theta}$