Esta pregunta es una especie de continuación de esta otra pregunta mía Desigualdades complicadas en las normas de los vectores .
Dejemos que $v_0,v_1,w_0,w_1\in \mathbb{R}^2$ sean cuatro vectores no nulos tales que
- $v_0=(v_{0x},0)$ , $v_1=(v_{1x},0)$ con $v_{0x}>0,v_{1x}>0$
- $w_0=(w_{0x},w_{0y})$ , $w_1=(w_{1x},w_{1y})$ con $w_{0y}\ge 0,w_{1y}\ge 0$
- $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> 1}$ y $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> \max\{\frac{||w_1||}{||w_0||},\frac{||w_0||}{||w_1||}\}}$ y $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> \max\{\frac{||v_1+w_1||}{||v_0+w_0||},\frac{||v_0+w_0||}{||v_1+w_1||}\}}$
Definir $$v_t:=((1-t)v_{0x}+t*v_{1x},0),\quad w_t:=(1-t)w_0+t*w_1$$ por cada $t\in [0,1]$ .
¿Es cierto que las dos desigualdades siguientes
$$\frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}\ge \max\{\frac{||w_{t_1}||}{||w_{t_0}||},\frac{||w_{t_0}||}{||w_{t_1}||}\} \quad \textit{and}\quad \frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}\ge \max\{\frac{||v_{t_1}+w_{t_1}||}{||v_{t_0}+w_{t_0}||},\frac{||v_{t_0}+w_{t_0}||}{||w_{t_1}+w_{t_1}||}\}$$
siempre se satisfacen para cada $t_0,t_1\in [0,1]$ , $t_0<t_1$ ?
No encuentro ningún contraejemplo, pero tampoco puedo demostrar la afirmación
