Desigualdades complicadas en las normas de los vectores (parte 2)

Question

Esta pregunta es una especie de continuación de esta otra pregunta mía Desigualdades complicadas en las normas de los vectores .

Dejemos que $v_0,v_1,w_0,w_1\in \mathbb{R}^2$ sean cuatro vectores no nulos tales que

• $v_0=(v_{0x},0)$ , $v_1=(v_{1x},0)$ con $v_{0x}>0,v_{1x}>0$
• $w_0=(w_{0x},w_{0y})$ , $w_1=(w_{1x},w_{1y})$ con $w_{0y}\ge 0,w_{1y}\ge 0$
• $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> 1}$ y $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> \max\{\frac{||w_1||}{||w_0||},\frac{||w_0||}{||w_1||}\}}$ y $\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> \max\{\frac{||v_1+w_1||}{||v_0+w_0||},\frac{||v_0+w_0||}{||v_1+w_1||}\}}$

Definir $$v_t:=((1-t)v_{0x}+t*v_{1x},0),\quad w_t:=(1-t)w_0+t*w_1$$ por cada $t\in [0,1]$ .

¿Es cierto que las dos desigualdades siguientes

$$\frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}\ge \max\{\frac{||w_{t_1}||}{||w_{t_0}||},\frac{||w_{t_0}||}{||w_{t_1}||}\} \quad \textit{and}\quad \frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}\ge \max\{\frac{||v_{t_1}+w_{t_1}||}{||v_{t_0}+w_{t_0}||},\frac{||v_{t_0}+w_{t_0}||}{||w_{t_1}+w_{t_1}||}\}$$

siempre se satisfacen para cada $t_0,t_1\in [0,1]$ , $t_0<t_1$ ?

No encuentro ningún contraejemplo, pero tampoco puedo demostrar la afirmación

Answer 1

Construimos un contraejemplo como sigue. Pongamos $w_0=(-1,1)$ y $w_1=(1,1)$ . Entonces $$\|w_0\|=\|w_1\|=\sqrt{2},$$ así que $$\frac{\|w_0\|}{\|w_1\|}=\frac{\|w_1\|}{\|w_0\|}=1.$$ Pero $$\|w_{1/2}\|=\| (1/2) w_0+(1/2) w_1\|=\|(0,1)\|=1.$$ Ahora toma números positivos pequeños $\varepsilon$ et $\delta$ y poner $v_{0x}=\varepsilon$ y $v_{1x}=\varepsilon(1+\delta)$ . Esto satisface dos de las desigualdades requeridas. La tercera desigualdad se transforma en

$$(1+\delta)^2>\frac{1+(1+\varepsilon)^2}{1+(1-\varepsilon(1+\delta))^2}$$

lo que equivale a

$$\varepsilon<\frac{\delta}{\sqrt{1+\delta^2}}.$$

Por otro lado, para cada $t_0<t_1\in [0,1]$ ,

$$\frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}=\frac{1+t_1\delta}{1+t_0\delta}\le 1+\delta.$$

Por lo tanto, para un contraejemplo para la primera desigualdad preguntada con $t_1=1/2$ y $t_0=1$ basta con tomar cualquier $\delta<\sqrt{2}-1$ y $\varepsilon<\frac{\delta}{\sqrt{1+\delta^2}}$ .