Si caliento una bola, ¿el gradiente de temperatura radial en el centro de la misma va a ser cero en todas las direcciones?

Question

Supongamos que tengo una bola uniforme, la transferencia de calor se rige únicamente por la ecuación del calor ( $\dot{u} = \alpha \Delta u$ ). Tiene una distribución de temperatura inicial que depende únicamente de $r$ , es decir $T=T(r)$ , donde $T(r)$ .

Si empiezo a calentar mi bola desde todas las direcciones de manera uniforme, ¿el gradiente de temperatura radial en el centro exacto será un cero?

Creo que el gradiente general, $\nabla T$ va a ser $\underline{0}$ porque no hay una dirección preferente. Sin embargo, eso significa que $\frac{\partial}{\partial r}T$ también va a ser $0$ en el medio (porque podría ser que $\frac{\partial}{\partial r}T$ es distinto de cero pero constante, lo que hace que el vector gradiente global sea cero al cancelarse las direcciones opuestas). Me haría la vida mucho más fácil si $\frac{\partial}{\partial r}T$ también fue $0$ .

Si es cero, ¿cómo puedo argumentar para que sea $0$ ? (y si no lo es, ¿por qué no lo es?)

Answer 1

La temperatura a través de la bola tendrá una pendiente cero en el centro. No tendrá un pico ni un mínimo pronunciados. Esto significa que tiene una pendiente de cero en el medio.

Answer 2

Si se calentara por todos los lados, el gradiente de temperatura en el centro sólo desaparecería si la gravedad fuera nula y la presión uniforme.

Suponiendo que haya gravedad y que tengas una bola llena de aire, habrá convección de partículas en su interior, ya que algunas se calientan rápidamente (las que están cerca de los bordes) y otras tardan más (las que están en el centro). El aire caliente cerca de los bordes se expandirá y se moverá hacia arriba en el globo debido a los gradientes de presión en el interior y, por lo tanto, la temperatura en el interior no será isotrópica.

Ahora supongamos que no hay gravedad y que la presión en el interior de la bola es uniforme y entonces empezamos a calentar la bola por igual desde todos los lados el gradiente de temperatura será cero ya que el centro de la bola será un punto estacionario (temperatura mínima) en el perfil de temperatura en cualquier sección transversal de la bola. Esto se puede demostrar utilizando la simetría.