Probabilidad geométrica

Question

Dos números aleatorios $x,y\in\mathbb R$ se eligen independientemente de un intervalo $[-2,2]$ . Evaluar la probabilidad de $x$ y $y$ tal que lo siguiente es válido: $1\le|x|+|y|\le2$ o $1\le x^2+y^2\le4$ .

Podemos definir dos eventos distintos:

$A: 1\le|x|+|y|\le2$

$B: 1\le x^2+y^2\le4$

y evaluar $P(A\cup B)$ .

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

$$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)},P(B)=\frac{m(B)}{m(\Omega)},P(A\cap B)=P(A)P(B)$$ donde $m(\Omega)=16$ es el área de un cuadrado de lado $a=4$ .

Evento $A$ :

$m(A)$ es la superficie del área marcada, que se puede encontrar por integración: $$4\left(\int_0^2 (2-x)dx-\int_0^1 (1-x)dx\right)=6\Rightarrow P(A)=3/8.$$

Evento $B$ :

$$m(B)=2\left(\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}dx - \int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}dx\right)=3\pi\Rightarrow P(B)=3\pi/16$$ $$P(A\cap B)=9\pi/128\Rightarrow P(A\cup B)=\frac{3(16+5\pi)}{128}$$

¿Podría alguien comprobar si esto es correcto?

Answer 1

Como me gusta bastante tu planteamiento geométrico, fíjate que la probabilidad de la unión se obtiene superponiendo primero las figuras, y luego calculando el área resultante, y dividiéndola por el área total.

Aquí está la cifra del área, en morado, que tienes que calcular

Answer 2

Estás tomando el evento A y B como independientes, lo cual no es cierto. En cambio, para calcular $P(A\cap B)$ encontrar el área común a ambos eventos y dividirla por $m(\Omega)$ . Para completar la información $P(A)=3/8$ , $P(B)=\frac{3\pi}{16}$ , $P(A\cap B)= \frac{(8-\pi)}{16}$ y $P(A\cup B)=\frac{2\pi-1}{8}$ lo que se puede comprobar calculando las áreas correspondientes.