Una desigualdad para el número mínimo de generadores de un grupo finito

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $n(G)$ el número mínimo de generadores y $m(G)$ el número mínimo de representaciones complejas irreducibles que generan (con $\otimes$ y $\oplus$ ) la representación regular de la izquierda.

Notación La palabra "generar" no significa "generar exactamente", sino como un factor directo.

Pregunta : ¿Es cierto que $n(G) \ge m(G)$ ?

Nota: un grupo $G$ es linealmente primitivo si $m(G) = 1$ Así que es obviamente cierto en este caso.

Answer 1

Dejemos que $P$ ser un $p$ -grupo. Entonces el menor número de caracteres irreducibles de $P$ cuyos núcleos se cruzan trivialmente es al menos $n(Z(P))$ y por lo tanto $m(P) \ge n(Z(P))$ . Así que para encontrar un ejemplo donde $n(P) < m(P)$ basta con encontrar $P$ tal que $n(P) < n(Z(P))$ . Un ejemplo en la base de datos Magma o GAP de grupos pequeños es SmallGroup( $3^6$ ,9). Aquí, $n(P) = 2$ pero $n(Z(P)) = 3$ .