Compruebe la irreductibilidad polinomios no satisfacer el criterio de Eisenstein.

Question

Mi Pregunta es para comprobar la Irreductibilidad de los polinomios de la no satisfacción de Criterio de Eisenstein.

Como una Ilustración, para comprobar si $x^{p-1}+.....+x+1$ para p un primo es irreducible o no, hemos sustituido $x$ $x+1$ y utilizando el Criterio de Eisenstein para el polinomio resultante llegamos a la conclusión de que resulta polinomio es irreducible y así es el polinomio original.

En general, para un determinado polinomio irreducible $f(x)$ con coeficientes en un conocido U. F. D, ¿hay algún elemento $a$ de manera tal que podemos aplicar el criterio de Eisenstein a $f(x+a)$?

Estoy seguro de que no habría estructura general para esto, pero espero que al menos algunos casos especiales.

Cualquier Referencia/sugerencia se agradece.

Gracias.

Answer 1

Hacer Eisenstein y lineal traducciones eran suficientes para determinar la irreductibilidad de cualquier polinomio entero? La respuesta es no. Dado $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_0$ hay pocas opciones en la traducción lineal para ser aplicado. En el caso especial $a_n=1$, $a_{n-1}=0$, el coeficiente de $x^{n-1}$$f(x+a)$$na$, por lo que debemos tomar en $a\equiv 0\pmod p$, es decir, nos quedamos con la $f$, a menos que $p|n$. En th eother lado, si $p|n$, entonces el coeficiente de $x^{n-2}$ hace $a_{n-2}+{p\choose 2}a$ $\equiv a_{n-2}\pmod p$ si $p=2$. Por lo tanto, si nos presentan cualquier polinomio irreducible con $n$ impar, $a_n=1$, $a_{n-1}=0$ y de tal manera que Eisenstein no puede mostrar su irreductibilidad, entonces ninguno de los Eisenstein plus lineal de las traducciones pueden mostrar irreductibilidad. Uno de esos polinomio es $$f(x)=x^3+x+1\in\mathbb Z[x].$$