Encontrar una solución general $\frac{d^2f}{dx^2}$ para una función implícita

Question

Digamos que tengo una función $F:\mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ que cumple los requisitos del teorema de la función implícita. Ahora me gustaría encontrar una expresión general para: $$\frac{d^2f}{dx^2}$$

Por el teorema sé que $$\frac{df}{dx} = - \Big(\frac{\partial F}{\partial y} \Big )^{-1} \frac{\partial F}{\partial x}$$ Así que continué diciendo que $$\frac{d^2f}{dx^2} = - \frac{\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial x})*\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial F}{\partial x}*\frac{d}{dx}(\frac{\partial F}{\partial y})}{(\frac{\partial F}{\partial y})^2}$$ Utilizando la regla del cociente. ¿Es esto correcto, y si es así: cómo puedo simplificar más esto? He encontrado en Internet que $$\frac{d^2f}{dx^2}=-\frac {\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2 -2·\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}·\frac{\partial F}{\partial y}·\frac{\partial F}{\partial x} +\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2} {\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^3}$$

lo cual es correcto, supongo, pero no sé muy bien cómo llegar a ello. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $\displaystyle F_x(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}$ y $\displaystyle F_y(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}$ .

$$\begin{align} \frac{d}{dx}F_x(x,f(x))&=F_{xx}(x,f(x))+F_{xy}(x,f(x))\frac{df(x)}{dx}\\\\ &=F_{xx}(x,f(x))-F_{xy}(x,f(x))\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))} \end{align}$$

Answer 2

Escribe $F = F(x,y)$ para que

$$ F(x, f(x)) = 0. $$

Diferenciando una vez con respecto a $x$ y utilizando la regla de la cadena, obtenemos

$$ \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) + \frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) f'(x) = 0. $$

Por lo tanto,

$$ f'(x) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}. $$

Para volver a diferenciarlo, tenemos que calcular las derivadas del numerador y del denominador y utilizar la regla del cociente. Tanto para el numerador como para el denominador, tendremos que utilizar de nuevo la regla de la cadena. Permíteme demostrarlo para el numerador:

$$ \frac{d}{\partial x} \left( \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) \right) = \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,f(x)) + \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}(x,f(x)) f'(x) = \\ \frac{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x)) \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(x,f(x)) - \frac{\partial F}{\partial x}(x,f(x)) \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} (x,f(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,f(x))}. $$

Si haces lo mismo con el denominador y haces algo de aritmética, obtendrás la fórmula que has citado.

Answer 3

$F(x,f(x))=0$ y así $$F_1 + F_2 f'=0 \ \ \text{ or}\ \ f'=-\frac{F_1}{F_2}$$ por la regla de la cadena.

Ahora diferencia de nuevo, utilizando la regla de la cadena y la regla del producto, $$F_{11}+F_{12}f'+F_{21}f'+F_{22}(f')^2+F_2f''=0$$ que podemos reordenar y sustituir por $f'$ para obtener la fórmula que citas.