Prescindamos de su $(q)$ trabajando en ZFC (para que todo esté bien ordenado). Además, "función" significará "función de $\omega$ a $\omega$ ."
La existencia de una familia $F$ del tipo que usted describe está implícito en $\mathfrak{d}=\omega_1$ , donde $\mathfrak{d}$ es el número dominante La cardinalidad mínima de cualquier conjunto de funciones, de forma que cada función esté dominada por una del conjunto. Esto no es demasiado difícil: dada cualquier secuencia $D=(g_\eta)_{\eta<\omega_1}$ de $\omega_1$ -muchas funciones, podemos construir una secuencia de funciones $(f_\eta)_{\eta<\omega_1}$ tal que $f_\eta>f_\beta+g_\beta$ por cada $\beta<\eta<\omega_1$ ; ahora sólo deja que $D$ sea una familia dominante de tamaño $\omega_1$ .
La igualdad $\mathfrak{d}=\omega_1$ es estrictamente más débil que CH, por lo que de hecho $(p)$ y $(q)$ juntos no implican $(r)$ .
¿Y qué hay de su análisis? (Arreglar tal $F$ y asumir $(q)$ pero $\neg(r)$ .)
Por cierto, nótese que lo único que utiliza sobre la reducibilidad de Turing es que sólo hay un número contable de funciones reducibles a Turing. Eso no juega un papel directo, pero eliminar los aspectos teóricos de la computabilidad -hasta que sean necesarios, si es que lo son- hará que las cosas sean menos misteriosas.
Su afirmación de que hay algún $f_p$ dominando toda función computable a partir de un real fijo $r$ est no se justifica a menos que asumamos una hipótesis más fuerte sobre $F$ : es decir, que toda función está dominada (no sólo escapada) por alguna función en $F$ . Esto sigue siendo coherente con $\neg$ CH, sin embargo, así que vamos a asumirlo. Es hace por supuesto justificar la existencia de un $f_p$ dominando cada $r$ -función computable.
Sin embargo, a continuación afirma
Y tampoco es $r$ computacionalmente reducible a cualquier función (en la jerarquía dada) que domine $f_p$ .
Esto será falso en general (¿qué pasa si $r$ es computable). Lo que sí es cierto es que ninguna función que domine $f_p$ (en la jerarquía dada o no) es $\le_Tr$ pero eso es lo contrario de lo que has escrito. Sin embargo, si el CH falla entonces lo que has escrito a veces ser cierto: sólo hay $\omega_1$ -muchos reales Turing reducibles a alguna función en $F$ Así que (suponiendo que $\neg$ CH) habrá un verdadero $r$ que no es reducible en Turing a ninguna de las funciones de $F$ en absoluto.
Prueba: El conjunto de funciones computables en relación con alguna $f\in F$ tiene cardinalidad $\omega_1\cdot\omega=\omega_1$ (ya que sólo un número contable de cosas son computables en una función dada, y hay $\omega_1$ -muchas funciones en $F$ ). Así que como la CH falla, podemos encontrar algún $r$ no computable a partir de ningún miembro de $F$ . De hecho, esto significa que la mayoría de los reales no serán computables a partir de ningún miembro en $F$ .
Creo que esto es lo que realmente quieres decir, dada tu pregunta "Y en caso de que sea correcto, ¿se puede dar un ejemplo de tal función $r$ ?" Así que quizás se trate de una errata y no de un auténtico error. A esta pregunta, la respuesta es que prácticamente cualquier $r$ puede tener esta propiedad. Tal vez de manera contraintuitiva, si $\mathfrak{d}=\omega_1$ Hay mucha flexibilidad en la construcción de la familia $F$ y para casi cualquier $r$ podemos construir un $F$ . Precisamente:
Supongamos que $\mathfrak{d}=\omega_1$ . Los siguientes son equivalentes: $(i)$ $r$ no es hiperaritmética. $(ii)$ Hay una familia dominante $(f_\alpha)_{\alpha<\omega_1}$ tal que $f_\alpha<f_\beta$ siempre que $\alpha<\beta$ y $r$ no es reducible en Turing a ninguna de las $f_\alpha$ s.
La prueba es un poco técnica, pero es básicamente una iteración limitado forzando el argumento. ("Limitado" en el sentido de que no estamos realizando un forzamiento completo, sino que sólo estamos construyendo un objeto "suficientemente genérico" dentro de nuestro universo teórico de conjuntos). Se trata de un pequeño ajuste de un teorema de Solovay, según el cual los reales computables a partir de funciones de crecimiento suficientemente rápido son precisamente los reales hiperaritméticos.
