De la longitud original $k$ secuencia $a_1,\dots,a_k$ formamos una biyección con la longitud relacionada $k+1$ secuencia $b_1,\dots,b_{k+1}$ donde
$b_i = \begin{cases} a_1&\text{if}~i=1\\ a_i-a_{i-1}&\text{if}~i\in\{2,3,\dots,k\}\\ n-a_k&\text{if}~i=k+1\end{cases}$
Observe que $b_1+b_2+b_3+\dots+b_{k+1} = a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+n-a_k = n$ como los telescopios de la serie.
Dadas las condiciones que $1\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq\dots \leq n$ Esto implica las condiciones:
$\begin{cases}b_1+b_2+\dots+b_{k+1} = n\\ 1\leq b_1\\0\leq b_2\\ \vdots\\ 0\leq b_{k+1}\end{cases}$
Alternativamente, dadas las condiciones que $0<a_1<a_2<a_3<\dots a_k< n+1$ esto implica las condiciones:
$\begin{cases} b_1+b_2+\dots+b_{k+1} = n\\ 1\leq b_1\\ 1\leq b_2\\ \vdots\\ 1\leq b_k\\0\leq b_{k+1}\end{cases}$
Si se añade la condición adicional de que $a_i\neq a_{i-1}+1$ para cualquier $i$ ( nota: su error tipográfico $a_i\neq a_{i+1}+1$ es siempre verdadera ya que $a_i\leq a_{i+1}<a_{i+1}+1$ en ambos escenarios ), entonces esto es equivalente a añadir la restricción de que $b_i\neq 1$ para cualquier $i\in\{2,3,\dots,k\}$
En el caso de las desigualdades estrictas, esto se gestiona fácilmente haciendo el cambio de variable $c_1=b_1-1$ , $c_i = b_i-2$ para cada $i\in\{2,3,\dots,k\}$ . Enfoque como siempre con estrellas y barras.
En el caso de $a_1\leq a_2\leq\dots$ Entonces puedes acercarte como en mi respuesta para Número de formas de escribir $n$ como suma de $k$ enteros no negativos sin 1 iterando sobre cuántos y cuáles de los $b_i$ son cero.
Como un aparte y para que la respuesta sea más completa, la cuestión de encontrar cuántas soluciones enteras hay para el sistema:
$\begin{cases} x_1+x_2+\dots+x_k=n\\ 0\leq x_i~\text{for each}~i\end{cases}$
se puede encontrar a través de estrellas y barras y tiene respuesta $\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n} = \left(\!\!\binom{n}{k}\!\!\right)$
