Es un semigrupo $G$ con identidad izquierda e inversa derecha un grupo?

Question

El Álgebra de Hungerford plantea la cuestión: ¿Es cierto que un semigrupo $G$ que tiene un elemento de identidad izquierdo y en el que cada elemento tiene un inverso derecho es un grupo?

Ahora bien, si tanto la identidad como la inversa son del mismo lado, esto es sencillo. Pues, en lugar de lo anterior, digamos que cada elemento tiene un inverso a la izquierda. Para $a \in G$ denote esta inversa izquierda por $a^{-1}$ . Entonces

$$(aa^{-1})(aa^{-1}) = a(a^{-1}a)a^{-1} = aa^{-1}$$

y podemos utilizar el hecho de que

$$cc = c \Longrightarrow c = 1$$

para conseguir que los inversos sean, de hecho, de dos caras:

$$ aa^{-1} = 1$$

De lo que se deduce que

$$a = 1 \cdot a = (aa^{-1})a = a (a^{-1}a) = a \cdot 1$$

como se desee.

Pero en el escenario dado no podemos utilizar $cc = c \Longrightarrow c = 1$ y no veo otra forma de demostrarlo. Al mismo tiempo, no puedo encontrar un contraejemplo. ¿Existe una resolución sencilla para esta cuestión?

Answer 1

Dejemos que $G$ tienen al menos dos elementos, uno de los cuales llamaré $e$ . Definir la operación binaria $*$ en $G$ por $x*y=y$ para todos $x,y\in G$ ; se puede comprobar fácilmente que $*$ es asociativo. Claramente $e*x=x$ para todos $x\in G$ Así que $e$ es una identidad de izquierda. Y $x*e=e$ para cada $x\in G$ Así que $e$ es un inverso de la derecha para cada elemento de $G$ (con respecto a la identidad izquierda $e$ ). Claramente $G$ no tiene identidad de dos lados, por lo que no es un grupo.

Por supuesto, esto es un poco impar, ya que puedo elegir cualquier elemento de $G$ para ser la identidad izquierda, y entonces se convierte en la inversa derecha de cada elemento.

Answer 2

Un contraejemplo concreto, que se encuentra en "A First Course In Abstract Algebra" de John B. Frayleigh, séptima edición:

Dejemos que $\Bbb R^*$ sea el conjunto de todos los números reales excepto $0$ . Definir $*$ en $\Bbb R^*$ dejando $a*b$ $=$ $\lvert a \lvert b$ para todos $a, b$ $\in$ $\Bbb R^*$ .

Comprueba que se trata de un semigrupo, que contiene una identidad izquierda y una inversa derecha para cada elemento de $\Bbb R^*$ pero no un inverso a la izquierda para cada elemento (considere los valores negativos), y ninguna identidad a la derecha.

Answer 3

Consideremos un grupo de cualquier conjunto de enteros que contenga 1 con el producto a*b = b. Entonces 1 es una identidad izquierda, ya que 1*b = b. (De hecho, todo número es una identidad izquierda). Y 1 es un inverso de la derecha para todo, ya que a*1 = 1, el elemento de identidad. (La asociatividad es fácil.) Pero obviamente esto no es un grupo.

Answer 4

Si $cc=c$ que $c$ se llama elemento idempotente.

El semigrupo con la unidad de la izquierda y la inversa de la derecha se denomina sistema de la izquierda y la derecha o, brevemente $(l, r)$ sistema.

Si se toman todos los elementos idempotentes de $(l,r)$ sistema también forman $(l,r)$ sistema llamado idempotente $(l,r)$ sistema. En dicho sistema la multiplicación de dos elementos es igual al segundo elemento porque si se toma $f$ y $g$ para ser dos elementos de este tipo, y $e$ es la unidad, que

$fg=feg=fff^{-1}g=ff^{-1}g=eg=g.$

Por lo tanto, cada elemento en tal sistema es la unidad izquierda y también la inversa derecha y cualquier sistema de este tipo no es un grupo porque ningún elemento puede ser la unidad derecha.

Ahora también es fácil ver que, si se define que la multiplicación de dos elementos es igual a la segunda, se obtiene idempotente $(l,r)$ sistema, que obviamente no es un grupo.

Para más detalles y algunos datos adicionales, consulte el artículo de 1944 de Henry B. Mann titulado "Sobre ciertos sistemas que no son de grupo". Puedes buscarlo fácilmente en Google y encontrarlo en línea.

La referencia a este artículo se menciona en alguna parte al principio del libro "La teoría de los grupos", de Marshall Hall.