¿Esta expectativa es finita?

Question

¿Cómo puedo demostrar que

$\int_{0}^{+\infty}\text{exp}(-x)\cdot\text{log}(1+\frac{1}{x})dx$

¿es finito? (si lo es)

Lo he intentado mediante simulación y parece finito para intervalos grandes. Pero no sé cómo demostrarlo analíticamente porque no conozco la integral de forma cerrada de este producto. En realidad estoy tomando la expectativa sobre la distribución exponencial.

Merci.

Answer 1

Si escribimos $$\int_{0}^{+\infty}=\int_0^1+\int_1^{\infty}$$ entonces vemos que $$\lim_{x\to 0^+} x^{1/2}f(x)=0<\infty\Longrightarrow\int_0^1f(x)dx\text{is convergent}$$ y $$\lim_{x\to +\infty} x^{2}f(x)=0<\infty\Longrightarrow\int_1^{\infty}f(x)dx\text{is convergent}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $\log(1+\frac{1}{x})=\log(1+x)-\log x$

Tenemos $$e^{-x}\log(1+x)=_\infty o\left(\frac{1}{x^2}\right)$$ por lo que la integral $$\int_0^\infty e^{-x}\log(1+x)dx\tag{1}$$ es convergente.

Además, como $$e^{-x}\log(x)\sim_0\log x$$ entonces la integral $$\int_0^1 e^{-x}\log x dx$$ es convergente y como en $(1)$ demostramos fácilmente que la integral $$\int_1^\infty e^{-x}\log(x)dx$$ es convergente y finalmente concluimos.

Answer 3

Hay dos cosas que mostrar aquí:

1) La integral es finita en, digamos, $[1,\infty)$ .

2) La integral es finita en, digamos, $[0,1)$ .

La primera parte es fácil: $\log(1+\frac{1}{x})$ disminuye con $x$ así, para $x\geq 1$ , $$ 0\leq\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\leq\log\left(1+\frac{1}{1}\right)=\log2; $$ por lo que $$ \int_1^{\infty}e^{-x}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx\leq\log2\int_1^{\infty}e^{-x}\,dx, $$ que puede demostrar que es finito.

Para la segunda parte, el $e^{-x}$ no nos ayuda en absoluto - sólo se acerca a 1 como $x\rightarrow0$ lo que no ayuda a compensar el hecho de que $\log(1+\frac{1}{x})\rightarrow\infty$ . Por lo tanto, también podrías atar $e^{-x}\leq 1$ para $x\geq 0$ para que $$ \int_0^1e^{-x}\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx\leq\int_0^1\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx=\int_0^1\left(\log(x+1)-\log(x)\right)\,dx. $$ ¡Intenta manejarlo desde aquí!

Answer 4

Tenga en cuenta que $\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx < \infty$ para $x \in \mathbb{R}$ . También hay que tener en cuenta que $\log(1+\frac{1}{x})>1$ si $x< \frac{1}{e-1}$ De ahí su integral $I$ puede ser acotado por $$ I=\int_{0}^{\frac{1}{e-1}}e^{-x}\log (1+\frac{1}{x})dx + \int_{\frac{1}{e-1}}^{\infty}e^{-x} \log (1+\frac{1}{x})dx \\ < \int_{0}^{\frac{1}{e-1}}e^{-x}\log (1+\frac{1}{x})dx +\int_{\frac{1}{e-1}}^{\infty}e^{-x}dx $$ Es evidente que ambas integrales son finitas, por lo que la integral original también lo es