Me han dado la matriz $$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 4\end{pmatrix}$$
y me han dado que sus valores propios son: $7, 2, -1$
En primer lugar, me pidieron que encontrara los vectores propios de columna y fila correspondientes al valor propio de Perron. Sé que el valor propio de Perron es $7$ por lo que fue capaz de encontrar los vectores propios para ser $$ v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ w^{T} =\begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{2}{3} & 1 \end{pmatrix}$$
La siguiente parte pregunta:
Encontrar un rango $1$ matriz no negativa C tal que la matriz $B+C$ tendrá valores propios $13,2,-1$ .
Sé por un teorema que he hecho en clase que como $C$ es un rango $1$ se puede expresar como $vy^{T}$ tal que $B+C$ tiene los mismos valores propios que $B$ excepto que $\lambda_{1}$ de $B$ se sustituye por $\lambda_{1} +y^{T}v$ .
En este ejemplo he dejado que $y = \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}^{T}$ y de esto tengo $13 = 7 + \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Por lo tanto $a + b + c = 6$ .
No sé cómo resolver para encontrar $C$ de esto, ¿necesito usar el vector propio de la fila?
