Imagina que el radio de convergencia de $f(x)=\sum a_n x^n$ es infinito. Sabemos que $ \int_{0}^4 f(x) dx =1$ , encontrar $\sum \frac{a_n n^2 4^n}{n+1}$ .

Question

Imagina que el radio de convergencia de $f(x)=\sum a_n x^n$ es infinito. Sabemos que $ \int_{0}^4 f(x) dx =1$ , encontrar $\sum \frac{a_n n^2 4^n}{n+1}$ . Hice algunos cálculos y descubrí que $\frac{\int f(x)dx}{x} + f'(x) = \sum \frac{a_n n^2 4^n}{n+1}$ Primero conseguí una integral de $f$ , luego una derivada, multiplicar por $x$ ,derivada, multiplicar por $x$ . Pero no sé cómo conseguir el resultado final, y o si lo que he hecho hasta ahora es correcto. ¿Alguna idea?

Answer 1

Supongamos que $f(x) = a_0$ . Es decir, $\forall n > 0, a_n = 0$ . $\int_0^4f(x)\,dx = 1$ nos dice que $a_0 = \frac 14$ . Y fácilmente conseguimos $$\sum_{n=0}^\infty \frac {n^2a_n4^n}{n+1} = 0$$

Supongamos ahora que $f(x) = a_1x$ . Entonces $\int_0^4f(x)\,dx = 1$ nos dice $a_1 = \frac 18$ y obtenemos $$\sum_{n=0}^\infty \frac {n^2a_n4^n}{n+1} = \frac 14$$

Así que no se da suficiente información sobre $f$ para que podamos calcular un valor fijo para la suma. Lo mejor que podemos hacer es dar una expresión que dependa de $f$ . Sugiero hacer primero las diferenciaciones. $$xf'(x) = \sum_{n=0}^\infty na_nx^n\\x\frac{d}{dx}(xf'(x)) = \sum_{n=0}^\infty n^2a_nx^n\\xf'(x) + x^2f''(x) = \sum_{n=0}^\infty n^2a_nx^n$$ Ahora haz la integración, con una división por $4$ para obtener el exponente correcto:

$$\frac14\int_0^4xf'(x) + x^2f''(x)\,dx = \frac 14\sum_{n=0}^\infty n^2a_n\int_0^4 x^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty\frac{n^2a_n4^n}{n+1}$$

La integración por partes a la izquierda da como resultado $$\sum_{n=0}^\infty\frac{n^2a_n4^n}{n+1} = 4f'(4) -f(4) + \frac 14$$