P) Supongamos $Y_n\geq 0$ , $EY_{n}^{\alpha}\rightarrow 1$ y $EY_n^{\beta}\rightarrow 1$ para algunos $0<\alpha<\beta$ . Demostrar que $Y_n\rightarrow 1$ en la probabilidad. Se ha respondido aquí y aquí pero quería comprobar si puedo aplicar y entender la estanqueidad.
Si hay un $\phi$ , s.t. $\phi(x)\rightarrow \infty$ como $|x|\rightarrow \infty$ y $\text{sup}_n\int \phi(x)dF_n(x)<\infty$ entonces $F_n$ está apretado. ¿Tiene $EY_n^{\alpha}\rightarrow 1\implies$ que la secuencia es ajustada? En primer lugar, no sé si $Y_n^{\alpha}(w)\rightarrow \infty$ como $|w|\rightarrow \infty$ e incluso si lo hace, no estoy seguro de lo que implica $EY_n^{\alpha}\leq C<\infty$ y lo que para $EY_n^{\alpha}$ de explotar para los pequeños $n$ ?
Pero si la secuencia es ajustada, el resto cae en su sitio. Deja que $F_{n_k}\implies F$ y como la secuencia es ajustada, $F$ es la función de distribución de alguna variable aleatoria Y. Hay un teorema que dice que si $g,h$ son continuos, $|h(x)|/g(x)\rightarrow 0 \text{ as } |x|\rightarrow \infty, F_n\implies F \text{ and } \int g(x)dF_n(x)\leq C< \infty$ entonces $\int h(x)dF_n(x)\rightarrow \int h(x)dF(x)$ . Así, $EY_{n_k}^{\alpha}\rightarrow EY^{\alpha}=1$ . Apretando, $EY^{\gamma} = 1 = (EY^{\alpha})^{\gamma/\alpha}$ para $\gamma \in (\alpha,\beta)$ . Así, para la función $f(x) = x^{\gamma/\alpha}$ tenemos una igualdad en Jensen y por lo tanto $Y^{\alpha}=EY^{\alpha}=1$ . $F_{n_k}\implies F$ y $Y=1=\text{ constant}$ implica $Y_n$ converge a $1$ en la probabilidad.
