Estoy haciendo unos ejemplos de multiplicadores de Lagrange que se me han ocurrido y estaba intentando pensar en un ejemplo en el que el método de "resolver la restricción explícitamente" falle. Estoy tratando de maximizar
$$f(x,y)=x^2 y + y^2 x$$
dada la restricción
$$g(x,y)=xe^x +ye^y -1 =0$$
Me he inventado esta restricción porque estoy bastante seguro de que no se puede resolver de forma explícita para ninguna de las dos variables. Ahora, formaré la función de Lagrange
$$F(x,y)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$$
y diferenciar con respecto a $x$ y $y$ y resolver el sistema de ecuaciones:
$$0=2xy+y^2- \lambda (x+1) e^x$$ $$0=2xy+x^2- \lambda (y+1) e^y$$
Teóricamente debería ser capaz de resolver esto para $x$ y $y$ que dependen de $\lambda$ y luego elegir el $\lambda$ para que la restricción se satisfaga realmente, pero no sé cómo hacerlo.
En su lugar, intenté "resolver" para $\lambda$ de la primera y la sustituyo en la otra y obtengo
$$(2xy+y^2)(y+1)e^y=(2xy+x^2)(x+1)e^x$$
Dividiendo por $xy$ (esto excluye cualquier punto en cualquier eje), obtengo
$$(2+\frac{y}{x})(y+1)e^y=(2+\frac{x}{y})(x+1)e^x$$
Que es como decir $$h(x,y)=h(y,x)$$ donde $h$ es cualquier lado de la ecuación anterior. De nuevo, no estoy seguro de qué hacer en este punto.
