Método trapezoidal iterativo para ecuaciones diferenciales

Question

Estoy estudiando métodos numéricos para ecuaciones diferenciales. He encontrado el método trapezoidal en dos formas, una explícita y otra iterativa. Me gustaría conocer las ventajas e inconvenientes de cada uno de esos métodos. Además, ¿cómo puedo estudiar la estabilidad del método iterativo? ¿Qué definición de estabilidad es la mejor y por qué? A continuación explico ambos métodos.

Consideremos un problema de valor inicial dado por $y' = f(t, y)$ y $y(a) = t_0$ , donde $f$ se define en $[a, b]\times[\alpha, \beta]$ y satisface la propiedad de Lipschitz con la constante de Lipschitz $L$ .

Dado un número natural $n$ y $h = \frac{b-a}{n}$ Estamos tratando de aproximar la solución única del problema en $t_i = a + ih \ \forall i = 0, 1 \ldots n$ . Si $y$ es la solución, llamamos $y_i = y(t_i)$ y denotamos $w_i$ a las aproximaciones obtenidas por el método aplicado.

Uno de los métodos estudiados es el método trapezoidal explícito. Sigue la siguiente regla:

$w_{i+1} = w_i + \frac{h}{2} \left[f(t_i,w_i) + f(t_{i}+h, w_i + h f(t_i,w_i))\right]$

Hemos demostrado que tiene un error local de orden 3 y, por tanto, un error global de orden 2.

Luego, leyendo algunos libros llegué al método trapezoidal iterativo, que resuelve la siguiente ecuación implícita:

$ w_{i}= w_{i-1} + \frac{h}{2} \left[f(t_{i-1}, w_{i-1}) + f(t_i, w_{i})\right] $

La idea es tomar una aproximación inicial $w_i^{(0)}$ y definiendo la siguiente secuencia:

$w_{i} ^{(j+1)} = w_{i-1} + \frac{h}{2} \left[f(t_{i-1}, w_{i-1}) + f(t_i, w_{i}^{(j)})\right]$

El límite de esa secuencia se toma como $w_i$ . He demostrado que la secuencia converge si $hL/2 < 1$ y que si utilizamos $w_i$ entonces el error local es $O(h^3)$ . Sin embargo, ¿por qué es útil este método y cómo puedo estudiar su estabilidad?

Answer 1

Sus preguntas contienen múltiples subpreguntas.

1. La ventaja del método explícito es que sólo requiere dos evaluaciones de la función por cada paso de tiempo. La ventaja del método implícito es que es A-estable.
2. La desventaja del método explícito es que la región de estabilidad es pequeña. La desventaja del método implícito es que suele requerir más de dos evaluaciones de funciones por paso de tiempo.
3. La estabilidad de este método se estudia examinando su comportamiento cuando se aplica a la ecuación de prueba simple $y' = \lambda y$ . Cuando la parte real de $\lambda$ es estrictamente menor que cero, entonces la solución exacta decae a cero como $t$ tiende al infinito. El método implícito reproducirá este comportamiento independientemente del paso de tiempo $h$ . El método explícito sólo producirá este comportamiento para valores suficientemente pequeños de $h$ .

El uso del método implícito requiere menos conocimientos sobre el problema, pero con frecuencia tardará más tiempo en obtener una solución. A menudo se puede reducir el tiempo para resolver la ecuación no lineal utilizando el método explícito para generar una buena conjetura inicial. Si se trata de un problema unidimensional, el método secante puede reducir aún más el tiempo de resolución. Si se trata de un problema multidimensional, hay que intentar aplicar el método de Newton.

A la hora de juzgar la calidad de un esquema debemos preocuparnos por la medida en que reproduce las características clave de la realidad física. Hay varios tipos de estabilidad, y cuál de ellos es relevante para usted depende del tipo de problema que intente resolver.

La mayoría de los libros de texto en los que se habla de ecuaciones rígidas tienen mucha más información sobre los términos "estabilidad", "región de estabilidad" y "métodos estables A". La simple ecuación de prueba puede parecer trivial, pero las apariencias engañan y en realidad cubre una clase de problemas físicos increíblemente grande.