la convergencia débil de operadores en subconjuntos densos implica la convergencia débil de operadores

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach, $E_1$ sea un subconjunto denso de $X$ y $E_2$ sea un subconjunto denso débil* del dual $X^*$ .

Si $(T_j)$ es un acotado red de operadores lineales acotados que actúan sobre $X$ y si $T$ es un operador lineal acotado tal que $$ \langle T_j(x),y \rangle \to \langle T(x), y\rangle $$ para cualquier $x \in E_1$ y cualquier $y \in E_2$ entonces me parece que la red $(T_j)$ converge a $T$ para la topología de operador débil de $B(X)$ .

1. ¿Puede confirmarlo? Nota $E_2$ es débilmente* denso y no es un subconjunto denso por norma de $X^*$ .

2. ¿Conoces alguna referencia (al menos del caso en el que $E_2$ es la norma densa)? ¿O es posible deducir este hecho a partir de resultados de la literatura?

Answer 1

Esto no es cierto. Se puede tomar $X=\ell_1$ con doble $\ell_\infty$ que contiene el débil $^*$ -subespacio denso $E_2=c_0$ . Para $E_1=X$ y $T_n:\ell_1\to\ell_1$ , $x\mapsto x_1e_n$ (donde $e_n$ es el secuencia de unidades con $1$ en el $n$ y ceros en los demás casos) se obtiene $\langle T_n(x),y\rangle = x_1y_n\to 0$ por cada $y\in E_2=c_0$ pero no converge para todos los $y\in\ell_\infty$ .