$\lim_ {n \to \infty} \int_{0}^{\infty} n\sin(x/n)(x(1+x^2))^{-1}dx$

Question

Estoy tratando de calcular $\lim_ {n \to \infty} \int_{0}^{\infty} n\sin(x/n)(x(1+x^2))^{-1}dx$ . Este es el ejercicio 2.28c en Folland. Conozco todos los grandes teoremas de convergencia (dominada, monótona, etc.), pero no sé por dónde empezar con este problema. ¿Alguna pista?

Answer 1

Dejemos que $$\mathcal{I}(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(ax)}{x(1+x^2)}dx$$ con $a>0$

diferenciando los lados de la cabina por a obtendremos $$\mathcal{I}'(a)=\int_{0}^\infty\frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx$$ y ahora utilizando el teorema del residuo de Cauchy obtendremos $\mathcal{I}'(a)=\frac{\pi}{2e^a}$ y por lo tanto $\mathcal{I}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2e^a}$

elija $a=\frac{1}{n}$ y $\lim n\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi e^{-1/n}}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$