70 dados de 6 caras Pregunta sobre el juego

Question

Yo juego a un juego en el que se utiliza un d6 (un dado normal de 6 caras) para determinar si un arma impacta o no en el vehículo del oponente. Hay un escenario posible en el que el atacante puede tirar 70d6 en un paso de ataque. Un "impacto" se anota con un 4, 5 o 6 en cada dado. En otras palabras, se tiran todos los dados, se mira cada uno y se cuentan los 4, 5 y 6. Un 4 cuenta como 1 acierto y un 5 cuenta como 1 acierto mientras que un 6 cuenta como 2 acierto.

Pregunta 1 - ¿Cuál es la probabilidad de conseguir al menos 20 impactos al lanzar este ataque de 70d6?

Pregunta 2 - ¿Cómo cambia la probabilidad si un 3 es también 1 acierto?

Gracias.

Answer 1

He aquí una aproximación por simulación: En un millón de sesiones de 70 tiradas del dado según la pregunta 1, he encontrado que es casi seguro obtener al menos 20 aciertos. [Nótese que he etiquetado las caras del dado con los números de aciertos correspondientes; R trata los tres 0 's como caras diferentes].

set.seed(926); m = 10^6
die = c(0,0,0,1,1,2); rolls=70
hits = replicate(m, sum(sample(die,rolls,rep=T)))
mean(hits >= 20)
[1] 0.999998

Si se pretendía hacer 30 tiradas del dado (como se mencionó en un comentario), entonces es un poco más del 50%.

set.seed(926); m = 10^6
die = c(0,0,0,1,1,2); rolls=30
hits = replicate(m, sum(sample(die,rolls,rep=T)))
mean(hits >= 20)
[1] 0.540681

En cualquier caso, te sugiero que pruebes el método CLT propuesto por @awkward. Setenta tiradas, o incluso 30, deberían ser suficientes para obtener una aproximación razonablemente buena. aproximación. Luego puedes comparar los resultados del CLT con los de la la simulación.

Nota: Aquí hay un histograma (azul) para el número de aciertos en 70 tiradas, junto con el curva normal mejor ajustada (naranja). El ajuste no es perfecto, pero es lo suficientemente bueno suficiente para mostrar que casi no hay probabilidad por debajo de 20.

# for rolls=70
mu = mean(hits);  sg = sd(hits);  mu;  sg
[1] 46.66131
[1] 6.235426
hist(hits, prob=T, col="skyblue2", ylim=c(0,.07))
curve(dnorm(x, mu, sg), add=T, col="orange", lwd=2)

Answer 2

El número esperado de aciertos es sólo $70$ veces el número esperado para un dado. Para $4,5,6$ golpeando, esperas $\frac 46$ golpe por dado o $\frac {4\cdot 70}6=41\frac23$ impactos de media por tirada. Si un $3$ éxitos también, ahora espera $\frac 56$ de un dado, para un total de $58\frac 13$ por rollo. La probabilidad de anotar al menos $20$ es muy alta en ambos casos. Podemos aproximar la distribución con una normal. Para el primer caso la varianza de un dado es $\frac 16\cdot (4+1+1)-(\frac 23)^2=\frac 59$ por lo que la varianza de todo el rollo es $70\cdot \frac 59=39\frac 19$ y la desviación estándar es de aproximadamente $6$ . La primera es sobre $3$ desviaciones estándar bajas, lo que ocurre menos de una vez en $600$ intentos. El otro es aún más probable que produzca al menos $20$ golpes.