He leído sobre la renormalización de $\phi^4$ teoría, es decir. $\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi-m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4\,,$ particularmente del libro de Ryder. Pero estoy confundido sobre algo:
Ryder comienza calculando la función de Green de dos puntos $G(x,y)$ para pedir $O(\lambda^2)$ (es decir, la corrección de primer orden del propagador libre). Ahora bien, si tomamos $\lambda$ sea pequeño, entonces esto debería ser una buena aproximación, pero $G(x,y)$ diverge, por lo que lo regulariza imponiendo un corte de momento $\Lambda$ y luego hace $m$ en función de $\Lambda\,,$ es decir. $m=m(\Lambda)\,.$ Luego pasa a lo mismo para la función de Green de cuatro puntos, y encuentra que $\lambda$ es también una función del corte, es decir $\lambda=\lambda(\Lambda)\,.$ Pero en este punto $\lambda(\Lambda)$ ya no es pequeño cuando $\Lambda$ es grande (en particular $\lambda\to\infty$ como $\Lambda\to\infty$ ), ¿qué hace que la serie de perturbaciones sea válida? ¿Cómo podemos ignorar la $O(\lambda^2)$ ¿términos? He leído cosas como "renormalizado hasta 1 bucle", pero ¿qué pasa con los demás bucles, son pequeños? ¿O estoy entendiendo mal lo que ocurre?
Tal vez sea así: Cuando calculamos la función de Green de dos puntos G(x,y) después de hacer un corte de momento en algún gran $\Lambda>\Lambda_0\,,$ donde $\Lambda_0$ es mayor que el momento al que realizamos el experimento, encontramos que la masa se ha desplazado a la masa física $m_P=m+\lambda m^{(1)}(\Lambda_0)+O(\lambda^2)\,,$ donde $m^{(1)}(\Lambda)$ es un término de corrección de primer orden. Ahora tenemos una segunda ecuación para $\lambda$ dada por alguna función $\lambda(\Lambda)$ que va al infinito como $\Lambda\to\infty\,,$ pero $\lambda(\Lambda_0)<1\,.$ Entonces podemos ignorar el $O(\lambda^2)$ término y decir simplemente $m_P=m+\lambda m^{(1)}(\Lambda_0)\,.$ Ahora bien, como la física de baja energía debería ser independiente de la escala de energía y $\Lambda_0$ ya es grande, suponemos que $m_P$ tiene la misma forma en todas las escalas de energía $\Lambda$ y esto define $m$ a funciones de $\Lambda\,,$ así que $m_P=m(\Lambda)+\lambda(\Lambda)m^{(1)}(\Lambda)\,,$ y luego por cada cálculo que hagamos pedir uno en $\lambda$ sustituimos esta fórmula por $m_P$ tomar $\Lambda\to\infty$ y calcular los resultados. Ahora técnicamente una mejor aproximación a $m_P$ en el punto de corte es $m_P=m+\lambda m^{(1)}(\Lambda_0)+\lambda^2 m^{(2)}(\Lambda_0)\,,$ y por lo tanto si queremos un mejor resultado debemos poner $m_P=m(\Lambda)+\lambda(\Lambda) m^{(1)}(\Lambda)+\lambda^2(\Lambda) m^{(2)}(\Lambda)$ y hacer lo mismo. ¿Es algo así?
