¿Cómo motivar a Schrödinger ' s ecuación?

Question

Schrödinger, ecuación se supone que es una ecuación diferencial para la función de onda de una partícula. Como yo entendemos en la actualidad, la hipótesis De De Broglie es una hipótesis que para las partículas debe haber algún tipo de función de onda $\Psi$ con la longitud de onda $\lambda$ tal que

$$p=\dfrac{h}{\lambda}$$

Donde $p$ es la partícula del impulso y $h$ es la constante de Planck. Como yo lo entiendo, esta hipótesis se basa en lo siguiente: para la luz, sabemos que hay una función de onda, pero también sabemos que se ha de partículas comportamiento y sabemos que $p = h/\lambda$ sostiene, en ese caso queremos que la converse para las partículas.

La hipótesis, sin embargo, no dice que la ecuación diferencial de esta función de onda satisface. En ese caso, Schrödinger, ecuación es la respuesta a eso, diciendo que la ecuación diferencial es

$$i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=\left(-\dfrac{\hbar}{2m}\nabla^2+V\right)\Psi$$

Ahora, yo simplemente no puedo entender por qué sería razonable considerar que la ecuación. Quiero decir, si simplemente aceptamos y deducir los resultados, entonces tenemos una sensación de que debe ser a la derecha. Pero ¿cómo motivar? Quiero decir, ¿qué razonamiento de plomo de Schrödinger para que la ecuación en específico?

Es posible, sin conocer aún más la mecánica cuántica, que se desprende de la ecuación, para motivar a que la función de onda de una partícula debe satisfacer la ecuación? He oído que esta ecuación no puede ser derivado. Pero creo que hay algunos razonamiento detrás de él.

Answer 1

Una explicación de la motivación de Schrödinger, que he oído es similar y es una extensión de su propio. Recordar la conservación de la energía, donde la energía total $E$ es la suma de la cinética $K$ y la energía potencial $V$. $$K+V=E$$ Nosotros, a continuación, se multiplican ambos lados por $\Psi$ y asumir que tiene la forma de onda de la $\Psi \sim e^{i(kx-\omega t)}$. Donde $k$ es el vector de onda, $x$ es una distancia, $\omega$ es una frecuencia angular, y $t$ es el tiempo. $$K\Psi+V\Psi=E\Psi$$ Recordemos que $K=\frac{p^2}{2m}$ y similar a lo que usted dice $p=\hbar k$. También recordemos que el total de energía de una onda está relacionada con la frecuencia angular a través de $E=\hbar \omega$. Finalmente se nos tenga en cuenta que $k$ $\omega$ puede ser llevado a cabo de la forma funcional de $\Psi$ a través espacial y temporal de los derivados, respectivamente. $$ \partial_x \Psi = ik\Psi = i \frac{p}{\manejadores} \Psi\\ \partial_t \Psi =-i \omega \Psi $$ La combinación de todos los rendimientos de Schrödinger, ecuación. $$ K\Psi+V\Psi=E\Psi \\ \frac{p^2}{2m} \Psi + V \Psi = \manejadores \omega \Psi \\ \frac{1}{2m} i \manejadores \partial_x)^2\Psi+V\Psi=\manejadores (i\partial_t)\Psi \\ \frac{-\manejadores^2}{2m}\partial^2_x \Psi + V(x)\Psi=i\manejadores \partial_t \Psi $$

Answer 2

"¿De dónde obtenemos que (ecuación)? Ningún lugar. No es posible obtenerlo a partir de algo que usted sabe. Salió de la mente de Schrödinger. " -Richard Feynman

Ahora, si quieres ver cómo Schrödinger llegado a esta ecuación, me permito sugerir la lectura de su propio artículo sobre el tema. En mi opinión y soy solo un aficionado en la historia de la ciencia, el más limpio sugerencia de cómo llegó hasta allí es en este papel: http://www.kip.uni-heidelberg.de/matterwaveoptics/teaching/archive/ws07-08/Schroedinger%20-%20Quantisierung%20als%20Eigenwertproblem.pdf (E. Schrödinger Quantisierung ela Eigenwertproblem, Erste Mitteilung: Ann. Phys. 79, 361 (1926))

Disculpas, pero es en alemán,... lo que es Más importante, no hay ninguna mano que se agita aquí. Básicamente te da la solución para el hidrógeno problema. En este punto es que no importa cómo lo adivinó. Lo que importa es que la solución es estructuralmente correcta y se predice la conocida espectro con alta precisión. Que no es diferente de Newton "adivinando", que la gravedad de la siguiente manera 1/r potencial (aunque probablemente no fue Newton quien tenía una corazonada primera).

Answer 3

Una buena motivación es este uno: Hamilton había descubierto que la óptica geométrica de la mecánica clásica y posiblemente fueron completamente equivalente. El óptico-mecánica de la analogía es $$ n(x) = \sqrt{1 - \frac{V(x)}{E}} $$

Donde $n(x)$ es el índice de refracción, y $x$ es un punto de $\mathbb{R}^3$. Óptica de la mecánica funciona bien, como la longitud de onda es menor que la dimensión espacial del entorno en consideración. Ya que son equivalentes, la mecánica clásica también funciona bien como la "longitud de onda" es menor que la dimensión espacial en consideración. Cómo arreglar cuando este no es el caso? La solución a la óptica es la de considerar la luz es una onda, no una partícula. Ahora usted no tiene la óptica geométrica, pero electromagnética, óptica, o de la "ola" de la óptica.

Por lo tanto, nuestra solución es considerar que cada partícula es una "onda". Puesto que una onda armónica es el más simple ejemplo de una onda, debemos empezar desde: $\Psi(x, t) = \phi(x)e^{-i\omega t}$. Así, monocromatic ecuación de onda de número $k$: $\left(\nabla^2 + k^2\right)\phi = 0$. Esto significa: $$ \nabla^2\Psi = -k^2\Psi - \frac{p^2}{\manejadores^2}\frac{2m}{2m}\Psi = \frac{2m}{\manejadores^2}K\Psi \quad\Longrightarrow\quad K\Psi = \frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2\Psi $$

Desde $E = K+V$, esto significa: $$ E\Psi = -\frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2\Psi + V(x)\Psi $$

Pero entonces: $$ \frac{\partial\Psi}{\partial t} = -i\omega\phi(x)e^{-i\omega t} = -i\omega\Psi(x, t) = \frac{-iE}{\manejadores}\Psi \quad\Longrightarrow\quad i\manejadores\frac{\partial\Psi}{\partial t} = E\Psi $$

Por lo tanto, tenemos ecuaciones de Schrödinger, sustituyendo $E\Psi$: $$ i\manejadores\frac{\partial\Psi}{\partial t} = -\frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2\Psi + V(x)\Psi $$