Sea $X:(\Omega,F)\rightarrow (\Omega',F')$ una variable aleatoria y $f:(\Omega',F')\rightarrow (\mathbb{R},B(\mathbb{R}))$ sea medible con $f\geq 0$ o $f(X)\in L^1(P)$. ¿Cómo puedo mostrar detalladamente: $$ \mathbb{E}f(X)=\int f(X)dP = \int f(X)dP^X(dx) $$ con $P^X$ siendo la distribución de $X$. Me gustaría entender esto completamente.
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Keen-ameteur
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La forma estándar de mostrar tales igualdades es primero para funciones simples, luego para funciones positivas y finalmente para funciones $L^1$.
El primer paso debería ser relativamente más fácil, y la igualdad para funciones positivas es por el teorema de convergencia monótona, y el paso final es por la linealidad de la integral y el hecho de que $f=f^+-f^-$, donde $f^+,f^-$ son funciones medibles positivas.
Las funciones simples son sumas lineales de funciones indicadoras, y para funciones indicadoras tenemos que: $$\mathbb{E}[\mathbf{1}_{X\in A}]=\mathbb{P}(X\in A) $$
Y la definición de la función indicadora es precisamente aquella que satisface:
$$ \mathbb{P}(X\in A) = \int \mathbf{1}_{X\in A}dP^X(x) $$
