sobre un problema de geometría

Question

Dejemos que $M$ sea el centro del segmento $[BC]$ y $P$ la mitad del segmento $[BM]$ . Un punto $A$ en el exterior del segmento $[BC]$ tal que $\angle BAP=\angle PAM=\angle MAC$ . Encuentra la medida de los siguientes ángulos: $\angle BAC, \angle CBA, \angle BCA$ ?

¿Puedes encontrar la medida de los ángulos sin utilizar el teorema de Pitágoras?

Answer 1

Denote $BAC$ por $3\alpha$ , $CBA$ por $\beta$ , $ACB$ por $\gamma$ .

No estoy seguro de que se pueda calificar, pero se puede ver que por el hecho de que la bisectriz angular divide el tercer lado de un triángulo en proporción igual a la proporción de los otros dos lados ( teorema de la bisectriz del ángulo ), por lo que el triángulo $AMB$ debe ser isósceles, aplicándolo al triángulo $PAC$ se ve que el coseno de $2\alpha$ est $\frac {1}{2}$ .

Así que $2\alpha=\pi/3$ , $\beta=\pi/2-\alpha=\pi/3$ , $\gamma=\pi-\beta-3\alpha=\pi/6$

Answer 2

Dejemos que $\alpha=\angle BAP$ . Al menos uno de los triángulos $BPA$ , $PMA$ tiene un ángulo $\ge\frac\pi2$ en $P$ (y un ángulo no nulo en $B$ o $M$ respectivamente). De la suma de ángulos en un triángulo, concluimos $\alpha<\frac\pi2$ . Construir $X$ tal que $\angle PBX=\frac\pi2-\alpha$ y $XP\perp BC$ . Entonces $\angle BXP=\alpha$ y $A,X$ están en el mismo lado de $BC$ . Por lo tanto, por la inversa del teorema del ángulo inscrito, $A$ está en el círculo circunscrito de $BPX$ . Reflejando la cifra en $BP$ encontramos $\angle PXM=\alpha$ Por lo tanto $A$ también está en el círculo circunscrito de $PMX$ . Estos dos círculos se cruzan exactamente en $P$ y $X$ . Desde $A\ne P$ concluimos $A=X$ y de esto $|AB|=|AM|$

Traduzca la figura por $\overrightarrow{BM}$ . Entonces $B\mapsto M$ , $M\mapsto C$ , $A\mapsto A''$ . Desde $|A''M|=|A''C|$ , dejemos que $c$ sea el círculo alrededor de $A''$ a través de $M$ y $C$ . Porque $\angle MA''C=2\alpha$ el círculo $c$ es el lugar de todos los puntos $X$ con $\angle MXC=\alpha$ . Por lo tanto, $A\in c$ . Concluimos que $|BM|=|AA''|=|A''M|=|AB|$ es decir $BMA$ es equilátero, por lo que $\alpha=\frac\pi6$ . El resto es fácil: $\angle BAC=3\alpha=\frac\pi2$ , $\angle CBA=\frac\pi2-\alpha=\frac\pi3$ , $\angle BCA=\frac\pi2-2\alpha=\frac\pi6$ .

Answer 3

Mi amigo con el que trabajo mucho me dio una solución muy interesante. Para empezar voy a introducir el sorteo.

Anotaciones: $$BP=x.$$

Porque $BP=x$ se deduce que $PM=x$ y $MC=2x.$ $M \in[AM)$ y $[AM)$ es la bisectriz del ángulo $\angle PAC$ $\Rightarrow$ $MQ \perp AC$ y $MQ=PM$ Así que $MQ=x.$ Así que sabiendo que el triángulo $\triangle MQC$ es un ángulo rectangular y $MC=2MQ$ $\Rightarrow$ la medida del ángulo $\angle C=30^{\circ}$ . Lo que faltaba por probar es fácil demostrarlo. ( $\triangle ABM$ es isósceles porque $P$ es un medio de $BM$ y $\angle BAP=\angle PAM$ a partir de aquí la medida del ángulo $\angle APM =90^{\circ}$ ).