¿Este documento utiliza incorrectamente las transformadas de laplace? (en particular, la transformada de laplace de 1/r)

Question

http://folk.uio.no/helgaker/talks/SostrupIntegrals_10.pdf

Si miras la página 16/34, puedes ver esta parte:

$ \frac{1}{r_c} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp{(-r_c^2 t^2 )dt} $

La página señala que se trata de una transformada de Laplace. Sin embargo, siempre he pensado que la transformada de laplace de 1/r no existe, por razones que se explican bien aquí: Transformada de Laplace de $1/t$

Me pregunto cómo se les ocurrió la fórmula anterior. Traté de enchufar la integral en mathematica para ver que salía, y el resultado fue: $ \frac{1}{\sqrt{r_c^2}} $

también conocido como 1/r. Supongo que lo formatea de esa manera para forzar el signo?

También encontré otro documento (que también habla de lo mismo; integrales moleculares) que tiene una expresión similar que describe en una transformada de laplace, que evalúa lo mismo en mathematica:

$ \frac{1}{r_c} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{\infty} \exp{(-sr_c^2 )s^\frac{-1}{2}ds} $

Tenga en cuenta que en el contexto de estos dos documentos, rc es la abreviatura de:

$ r_c = \sqrt{(x_c^2 + y_c^2 + z_c^2)} $

donde xc, etc. son a su vez abreviaturas de:

$ xc = (x-c_x) $

Donde $ c_x $ es la coordenada x del átomo c, etc.

¿Quizás por eso existe la transformada, porque en realidad es tridimensional...? Estoy seguro de que las transformadas (de ambos documentos) son correctas, ya que he jugado un poco con ellas, pero sigo sin entender de dónde han salido.

La motivación de estas transformaciones es poder evaluar los siguientes tipos de integrales:

$ \int_{-\infty}^{\infty} dr \frac{\exp{(-\gamma r_c^2)}}{r_c} $

r es una vez más la abreviatura de lo anterior, y dr significa dxdydz

Answer 1

No estoy seguro de la pregunta específica en el OP. Parece que lo que se pide es que se muestren los fundamentos para llamar a la integral $\frac1{\sqrt \pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-r_c^2t^2}\,dt$ una Transformada de Laplace. Es con este fin que ahora procedemos.

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En primer lugar, la explotación de la simetría par revela

$$\frac1{\sqrt \pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-r_c^2t^2}\,dt=\frac{2}{\sqrt \pi}\int_{0}^\infty e^{-r_c^2t^2}\,dt$$

Entonces, dejando $t=\frac{\sqrt{u}}{r_c}$ obtenemos

$$\frac1{\sqrt \pi}\int_{0}^\infty e^{-r_c^2t^2}\,dt=\frac{1}{r_c\sqrt \pi}\int_{0}^\infty u^{-1/2}e^{-u}\,dt \tag 1$$

tiene la forma de una transformada de Laplace de $u^{-1/2}$ evaluado en $s=1$ .

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Nótese que en ninguna parte se afirma que el resultado es la Transformada de Laplace de $\frac1{r_c}$ o la transformada inversa de Laplace de $\frac{1}{r_c}$ . De hecho, $(1)$ tiene la apariencia explícita de $1/r_c$ . Por lo tanto, dado que la expresión en $(1)$ es igual a $1/r_c$ encontramos que

$$\int_0^\infty u^{-1/2}e^{-u}\,du=\sqrt \pi$$

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La motivación de los autores para utilizar la representación $\frac1{r_c}=\frac1{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{-r_c^2t^2}\,dt$ es trabajar con un $4$ -con la integral de la dimensión $r_c$ que aparece como parte del argumento en un término exponencial en lugar de trabajar con el $3$ -integral de la dimensión con la aparición de $\frac1{r_c}$ .

Answer 2

Utilizando la simetría, el lado derecho de la primera ecuación es

$$ \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \exp(-r_c^2 t^2)\; dt$$

El cambio de variables $t = \sqrt{u}$ hace que esto se convierta en

$$ \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^\infty \frac{\exp(-r_c^2 u)}{\sqrt{u}}\; du $$

que es esencialmente la transformada de Laplace de $1/\sqrt{u}$ en $r_c^2$ . Este hace existen, porque $1/\sqrt{u}$ es integrable en $0$ . El valor es efectivamente $1/\sqrt{r^2} = 1/|r|$ , suponiendo que $r$ es real.

En realidad, esto es un poco al revés. Para hacer esta transformada de Laplace necesitamos saber que $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ y la forma habitual de mostrar $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ es invertir el cambio de variables y aplicar el conocido hecho de que $$\int_{-\infty}^\infty \exp(-t^2)\; dt = \sqrt{\pi}$$