Estoy leyendo Principios del análisis matemático de Walter Rudin, y una pregunta me vino a la cabeza al leer el siguiente teorema:
Si p es un punto límite de un conjunto E, toda vecindad de p contiene infinitos puntos de E.
Sé que esta cuestión ya se ha debatido aquí varias veces, así que no voy a repetirla de nuevo. Sin embargo, me pregunto si la afirmación inversa (más o menos) es cierta? ¿Que si una vecindad de p contiene infinitos puntos de E, entonces p debe ser un punto límite de E?
En otras palabras, si un punto $p \in E$ es un punto aislado debe el vecindario $N_p$ sea un conjunto finito?
Traté de encontrar la respuesta a esta pregunta pero no pude encontrarla exactamente.
EDITAR: Me doy cuenta de que esta es una pregunta realmente estúpida, ya que si el barrio de p es lo suficientemente grande, puede contener una cantidad infinita de puntos dado que $E$ es infinito? Pongamos las preguntas en contexto.
Estoy tratando de responder a la pregunta de si $E \subset X$ , donde $X$ es una sala métrica, $E$ sólo se compone de puntos aislados y $E$ es compacto, entonces puede $E$ contienen una cantidad infinita de puntos?
Mi idea era demostrar que el si $\{N_p\}$ es la colección de vecindades a todo puntos $p \in E$ , entonces su unión es una tapa abierta. Entonces, por la definición de compacidad, debe existir una subcubierta finita que contenga $E$ . Por lo tanto, debe existir una secuencia de puntos $\{p_1, ..., p_n\} \in E$ tal que $E \subset N_{p_1} \cup \ ...\ \cup N_{p_n}$ . Finalmente estoy tratando de argumentar que si todos los puntos en p están aislados, estos vecindarios sólo pueden contener una cantidad finita de puntos, y por lo tanto pueden $E$ no contiene una cantidad infinita de puntos.
Ni siquiera sé si esto es así, y si mi razonamiento es algo razonable? Perdón por el largo texto chicos..
