Prueba $Y~\sim N(\mu_Y,\sigma_Y^2)$ cuando $Y= aX+b$ y $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ .

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria continua - $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ .

Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria continua cuando $Y = a X + b$ .

Demostrar que $Y$ distribuye la distribución normal también, y encuentra $\mu_Y,\sigma_Y^2$ .

Mi intento

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(aX+b \leq y) = P(X\leq \frac{y-b}{a}) = F_X(\frac{y-b}{a}).$

Y entonces $f_Y = \frac{dF_Y(y)}{dy} = \frac{dF_X(\frac{y-b}{a})}{dy} = \frac{f_X(\frac{y-b}{a})}{\frac{y}{a}}$ .

Pero, no sé cómo continuar. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Dado $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ entonces, como se ha derivado, se obtiene $$F_y(y) = F_X\left(\frac{y-b}{a}\right)$$ Por lo tanto, la densidad de $Y$ viene dada por \begin{align} f_Y(y) &= \frac{1}{a} f_X\left(\frac{y-b}{a}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi a^2 \sigma^2}} \exp\left[\frac{-1}{2\sigma^2} \left(\frac{y-b}{a}-\mu\right)^2 \right] \\ &= \ldots \end{align} ¿Puede continuar?

Answer 2

Otra forma $$M_{Y}(t)=\mathbb{E}[e^{tY}]=\mathbb{E}[e^{t(aX+b)}]=e^{bt}\mathbb{E}[e^{atX}]=\large e^{bt}\, e^{a\mu\,t+\frac12\sigma^2a^2t^2}=e^{(a\mu+b)t+\frac12(a\sigma)^2t^2}$$ por lo tanto $$Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)$$

Answer 3

Comenzar con $U\sim Norm\left(0,1\right)$ y que $\sigma>0$ .

Si $X=\sigma U+\mu$ entonces encontramos $F_{X}\left(x\right)=P\left(U\leq\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ y $f_{X}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ que puede reconocerse como la PDF relacionada con la distribución $Norm\left(\mu,\sigma^2\right)$ .

Si $a>0$ y $Y=aX+b$ entonces $Y=a\sigma U+\left(a\mu+b\right)=\sigma'U+\mu'$ y se puede aplicar el mismo procedimiento.

Si $a<0$ y $Y=aX+b$ entonces $Y=\left(-a\right)\sigma V+\left(a\mu+b\right)=\sigma''V+\mu'$ donde $V=-U$ . Entonces $V\sim Norm\left(0,1\right)$ y el mismo procedimiento puede aplicarse.