Por qué $2^{n\log_2n}=n^n$ ?

Question

No pude encontrar ninguna respuesta en internet así que vine aquí, estoy tratando de entender cómo $2^{n\log_2n}=n^n$

Sé que $n^n=e^{\ln{n^n}}=e^{n\ln{n}}$

Hasta ahora he conseguido $2^{n\log_2n}=2^{\log_2{n^n}}=2^{\frac{\ln{n^n}}{\ln2}}$

Entonces estoy atascado, ni siquiera estoy seguro de ir por el buen camino..

Gracias por adelantado

Answer 1

$\log_2(x)$ se define como el número $y$ tal que $2^y = x$ .

Por lo tanto, $$2^{n \log_2(n)} = \left(2^{\log_2(n)}\right)^n = n^n$$

Tu manera funcionará, pero tienes que escribir el fondo $2$ como $e^{\ln(2)}$ antes de poder progresar.

Answer 2

Tenga en cuenta que por definición

$$x=\log_2^n\iff 2^x=n$$

así

$$2^{n\log_2n}=(2^x)^n=n^n$$

Answer 3

Por la misma razón que $\; n^n=\mathrm e^{n\log n}$ . Sólo cambia la base del logaritmo.

Answer 4

$$2^{n\log2^n}=2^{\log2^{n^n}}$$

$\log 2$ y $2$ son inversos, por lo que se cancelan, así que

$$2^{n\log2^n}=n^n$$

Permítanme explicar por qué se anulan.

Usted sabe $\log_a a^x=x$ y tienes que demostrar $a^{\log_a x}=x$

Set $\log_ax=y$ y hacer esta ecuación en forma exponencial, así $\log_ax=y \implies x=a^y$ .

Utilizando la sustitución, $a^{\log_ax}=a^{\log_aa^y}$ . Usando lo que sabes, $a^{\log_aa^y}=a^y$ .

Desde $a^y=x$ , $a^{\log_a x}=x$ .

Utiliza esto para ayudarte a probar $2^{n \log_2n}=n^n$

Answer 5

Tomando el logaritmo de ambos lados obtenemos $$n\log_{2}{n}\ln(2)=n \ln(n)$$ dividiendo por $$\ln(2)$$ obtenemos 4 $$n\log_{2}{n}=n\frac{\ln(n)}{\ln(2)}=n\log_{2}{n}$$ lo cual es cierto.