Demuestre que el comportamiento de $f$ para $z \rightarrow \infty$ se describe exactamente en uno de los tres casos siguientes

Question

Dejemos que $K \subseteq \mathbb C$ ser compacto y $f: \mathbb C\setminus K$ holomorfo. Demuestre que el comportamiento de $f$ para $z \rightarrow \infty$ se describe exactamente en uno de los tres casos siguientes:

a) hay uno $w_0$ $\in \mathbb C$ tal que $f(z) \rightarrow w_0, z \rightarrow \infty$ .

b) hay uno $a$ $\in \mathbb C \setminus \left\{0\right\}$ tal que $\frac{f(z)}{az^m} \rightarrow 1, $ $z$ $\rightarrow$ $\infty$ .

c) a cada $w \in \mathbb C$ hay $z_n \rightarrow \infty$ con $f(z_n) \rightarrow w$

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Mi idea hasta ahora: Creo que tengo que demostrar que todas estas afirmaciones son verdaderas, que a)-c) son verdaderas. pero no estoy seguro de cómo empezar.

Answer 1

Una pista. Si $K\subset D(0,R)$ entonces $f$ puede expresarse como una serie de Laurent de la forma: $$ f(z)=\sum_{k=-\infty}^{-1}a_kz^k+\sum_{k=0}^\infty a_kz^k $$

Caso I. Si $a_k=0$ para cada $k>0$ entonces $\lim_{z\to\infty}f(z)=a_0$ .

Caso II. Si $a_k=0$ para cada $k>n$ y $a_n\ne 0$ entonces $$\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{z^n}=a_n$$

Caso III. Si $a_k\ne 0$ para infinitos enteros positivos $k$ entonces $f[A_{r,\infty}]$ es denso en $\mathbb C$ para cada $r>R$ , donde $$ A_{r,\infty}=\{z\in\mathbb C: |z|>r\}. $$