Que $σ∈S_n$ ser un ciclo de $n$. Demostrar que un elemento $τ∈S_n$ sólo conmuta con $σ$ si $τ$ es un poder de $σ$.

Question

Que $σ∈S_n$ ser un ciclo de $n$. Demostrar que un elemento $τ∈S_n$ sólo conmuta con $σ$ si $τ$ es un poder de $σ$.

Answer 1

Supongamos que WLOG $$ \sigma = (1 2 3 n \dots). $$ Entonces $$ (1 2 3 n \dots) = \tau (1 2 3 n \dots) \tau^{-1} = (\tau(1) \tau(2) \dots \tau(n)). $$ Así que si $\tau(1) = i+1$ (para algunos $0 \le i < n$), a continuación, $\tau(2) = i+2$, etc., $\tau(j) = j+i$ (Kasper observa correctamente - gracias! - en un comentario que una vez que $n$, debemos doblar para $1$, argumentando esencialmente modulo $n$), así $\tau = \sigma^{i}$.

Answer 2

La clase GACION de $\sigma$ es el conjunto de todos $n$-ciclos, de los cuales hay $(n-1)!$. Así el índice de centralizador de $\sigma$ es $(n-1)!$, por lo que es de la orden del centralizador de la $n!/(n-1)!=n$. Pero hay poderes de $n$ $\sigma$, por lo que sólo ellos viajan con $\sigma$.