Demuestre que los ingresos disminuyen con el precio en una curva de demanda elástica

Question

Definamos los ingresos (R) como el precio (P) por la cantidad (Q).

Además, supongamos que el precio depende linealmente de la cantidad.

Entonces por la regla del producto tenemos que

$$ \frac{\%\Delta R}{\%\Delta P} = Q + P \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P} $$

Además por la linealidad tenemos:

$$ \frac{\%\Delta R}{\%\Delta P} = Q_0 + 2 P \frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P} $$

Según el curso de economía que estoy cursando, los ingresos deberían disminuir con el precio en una curva de demanda lineal si la elasticidad $\frac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}$ que siempre es negativo, tiene módulo mayor que uno.

Pero eso no parece evidente en la ecuación anterior, ¿qué está pasando?

Answer 1

Definamos la elasticidad-precio de alguna cantidad $X$ para ser $$ \frac{dX}{dP}\frac PX.$$

Por lo tanto, la elasticidad-precio de los ingresos es $$ 1 + \frac{dQ}{dP}\frac PQ,$$ donde el segundo término es la elasticidad-precio de la demanda.

Por lo tanto, los ingresos son decrecientes (crecientes) en el precio cuando la elasticidad-precio de la demanda es menor (mayor) que $-1$ . Intuitivamente, cuando un $1 \%$ El aumento de los precios provoca una caída de la demanda mayor que $1 \%$ Entonces, los ingresos deben disminuir cuando los precios aumentan.

Nótese que sólo me baso en la diferenciabilidad de la función de demanda. En particular, no es necesario que exista una relación lineal entre el precio y la cantidad para que esto se cumpla.

Answer 2

Para demostrar que los ingresos disminuyen al aumentar el precio $P$ Sólo tiene que demostrar que

• $\frac{\Delta R}{\Delta P} <0$ (En palabras: al aumentar el precio se reducen los ingresos).

Se da lo siguiente:

• la demanda es $\color{blue}{\mbox{elastic}}$ (wrt. precio) lo que significa $$\epsilon(P) = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}} = \frac{\Delta Q}{\Delta P}\cdot \frac{P}{Q} \color{blue}{<- 1}$$
• Aquí no se necesitan más supuestos sobre la forma de la función de demanda.

Ahora, tienes

$$\frac{\Delta R}{\Delta P} = Q + P\underbrace{\frac{\Delta Q}{\Delta P}}_{= \epsilon(P)\cdot \frac{Q}{P}} = Q + \epsilon(P)Q= (1+\underbrace{\epsilon(P)}_{<-1})Q <0$$