Ampliación de base 7 de $\frac{31}{32}$ ?

Question

Quiero encontrar la base $7$ expansión de esta fracción $\left(\frac{31}{32}\right)_{10}$ .

Normalmente lo hago por división larga en la base deseada. Lo cual no es un problema para fracciones con denominadores y numeradores de un solo dígito como $\frac{5}{6}$ y cosas así, pero cuando se trata de $2$ dígitos este método es inútil, porque no sé mi $32$ tabla de multiplicar en base $7$ .

¿Hay alguna manera más fácil de hacer esto o tendré que morder la bala? Preferiblemente me gustaría seguir haciendo la división larga.

Answer 1

Tenga en cuenta que $32$ divide $7^4-1$ . Entonces tenemos: $$ \begin{aligned} \frac {31}{32} &= \frac {31\cdot 75}{32\cdot 75} = \frac {2325}{7^4-1} \\ &= 6531_7\cdot \left(\frac 1{7^4}+\frac 1{7^8}+\frac 1{7^{12}}+\dots\right) \\ &= 6531_7\cdot 0,\ 0001\ 0001\ 0001\ \dots_7 \\ &= 0,\ 6531\ 6531\ 6531\ \dots_7 \ . \end{aligned} $$