Ampliación de base 7 de $\frac{31}{32}$ ?

Question

Quiero encontrar la base $7$ expansión de esta fracción $\left(\frac{31}{32}\right)_{10}$ .

Normalmente lo hago por división larga en la base deseada. Lo cual no es un problema para fracciones con denominadores y numeradores de un solo dígito como $\frac{5}{6}$ y cosas así, pero cuando se trata de $2$ dígitos este método es inútil, porque no sé mi $32$ tabla de multiplicar en base $7$ .

¿Hay alguna manera más fácil de hacer esto o tendré que morder la bala? Preferiblemente me gustaría seguir haciendo la división larga.

Answer 1

Se hace por multiplicación y "pelado".

Para obtener una fracción adecuada, empieza por el punto "decimal". Para desplazarse un punto a la derecha, multiplique por la base, 7, y obtenga el resultado como una fracción mixta. La parte del número entero es el primer "dígito" de base 7 después del punto "decimal". La fracción restante se utiliza en el siguiente paso de multiplicación y pelado para obtener el segundo dígito de base 7 y el resto que se utiliza para el tercer punto decimal, etc. Eventualmente las fracciones se repetirán y entonces podrás identificar el bloque que se repite.

Y así:

$(31/32)×7=(217/32)=6+(25/32)$ ...por lo tanto, 0,6...

$(25/32)×7=(175/32)=5+(15/32)$ ...por lo tanto, 0,65...

$(15/32)×7=(105/32)=3+(9/32)$ ...por lo tanto, 0,653...

Después de una ronda más su fracción restante vuelve a ser 31/32, por lo tanto (dejando al lector que encuentre el último "dígito" del bloque)

$0.653x653x653x ..._7$ .

Answer 2

He pensado, ya que no he visto ninguno, presentar un caso de división larga en base nativa $7$ :

$$ \require{enclose} \begin{array}{r} 0.6531\phantom{6} \\[-3pt] 44 \enclose{longdiv}{43.00000}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{36.0}\phantom{0000} \\[-3pt] 3.40\phantom{000} \\[-3pt] \underline{3.16}\phantom{000} \\[-3pt] 210\phantom{00} \\[-3pt] \underline{165}\phantom{00} \\[-3pt] 120\phantom{0} \\[-3pt] \underline{44}\phantom{0} \\[-3pt] 430 \end{array} $$

En este punto de los cálculos, se hace evidente que el resultado es el valor septimal repetido $0.\overline{6531}_7$ .

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Esta es otra forma. Reconocemos que se trata de un número racional, y por tanto debe tener una representación septimal que sea terminante o repetitiva. Como $32 = 2^5$ no es un poder de $7$ debe estar repitiendo. Por lo tanto, buscamos un poder de $7$ que es uno más que un múltiplo de $32$ eso es,

$$ 32k = 7^d-1 $$

y luego el decimal repetido tiene un período de $d$ dígitos, que es la representación septimal de $31k$ . Hay formas más sistemáticas de hacerlo, pero los números aquí son lo suficientemente pequeños como para hacerlo por inspección: Vemos que $7^4-1 = 2400 = 32 \times 75$ y $31 \times 75 = 2325 = 6531_7$ y ese es nuestro periodo de repetición.

Answer 3

Tenga en cuenta que \begin{align} \frac{31}{32}\times 7 & = 6 + \frac{25}{32} \\ \frac{25}{32}\times 7 & = 5 + \frac{15}{32} \\ \frac{15}{32}\times 7 & = 3 + \frac{9}{32} \\ \frac{9}{32}\times 7 & = 1 + \frac{31}{32} \\ \vdots \quad & = \quad \vdots \\ \end{align}

Answer 4

Esto es sólo un pequeño ejercicio para pensar en base siete:

$${1\over11}=.0606060\ldots$$

así que

$${1\over22}=.0303030\ldots$$

así que

$${1\over44}=.01350135\ldots$$

así que

$${43\over44}=1-{1\over44}=.65316531\ldots$$

El paso más complicado es hacer la división larga de $.0303030\ldots$ por $2$ , señalando que $3=2\cdot1+1$ , lo que deja $10=2\cdot3+1$ para el siguiente dígito, después del cual $13=2\cdot5$ .

Answer 5

Tenga en cuenta que $32\gt 31$

Ahora $$31\times 7=217=6\times 32+25$$ y $$25\times 7 = 5\times 32 +15$$ y $$15\times 7 =3\times 32 +9$$ y $$9\times 7=1\times 32+31$$

Así que la base $7$ se obtiene $\frac {31}{32}=0.6531 \dots$ y como es racional será una secuencia recurrente.