Supongamos que $f \in L^p(\mathbb{R})$ ( $1 \leq p < \infty$ ). ¿Se sostiene entonces que $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_0^1 \int_0^1 \left \lvert f\left( \frac{\tilde{r}}{n} \right) -f\left(\frac{r}{n} \right) \right \rvert^p ~\mathrm{d}r \mathrm{d}\tilde{r} = 0 \quad ? $$ Y si es así, ¿cómo puedo demostrarlo? Estoy bastante seguro de que esto es cierto. Traté de usar eso $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \lVert f(\cdot + h) - f \rVert_{L^p} = 0$ pero eso no me ayudó ya que en este caso tengo una doble Integral. Tal vez podría youse un argumento de densidad o una transformación pero no sé muy bien cómo. ¿Alguien puede ayudarme? ¿O existe algún contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He aquí un contraejemplo con $p=1$ . Tome $$ f(x) = \mathbf 1_{(\frac 1 2, \frac 3 4)} + \mathbf 1_{(\frac 1 4, \frac 3 8)} + \mathbf 1_{(\frac 1 8, \frac 3 {16})} + \mathbf 1_{(\frac 1 {16}, \frac 3 {32})} + \dots $$ Entonces $f \in L^1(\mathbb R)$ con $\| f \|_{L^1(\mathbb R)} = \frac 1 2 $ .
Ahora observe que $$ x \in [0, 1] \implies f(x) = f\left( \frac x n \right) \ \ \ \ $$ para todos $n$ de la forma $n = 2^k$ donde $k \in \mathbb N$ .
Así que para $n$ de la forma $n = 2^k$ tenemos $$ \int_0^1 \int_0^1 | f\left( \tfrac x n \right) - f\left( \tfrac y n \right) | dx dy = \int_0^1 \int_0^1 | f\left(x \right) - f\left( y \right) | dx dy = \frac 1 2 $$
Por lo tanto, es imposible que $ \int_0^1 \int_0^1 | f\left( \tfrac x n \right) - f\left( \tfrac y n \right) | dx dy $ para atender $0$ como $n \to \infty$ .
Dachi Imedadze
Puntos
6
Bueno, para los fijos $\tilde{r} \in [0,1]$ tenemos
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \left|f\left(\frac{\tilde{r}}n\right) - f\left(\frac{r}n\right)\right|^p\,dr =\int_0^1 \lim_{n\to\infty}\left|f\left(\frac{\tilde{r}}n\right) - f\left(\frac{r}n\right)\right|^p\,dr= 0$$ por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, ya que el integrando está dominado por $2^p\|f\|_{L^P}^p$ que es integrable en $[0,1]$ .
Por lo tanto, la secuencia de funciones $$\tilde{r} \mapsto \int_0^1 \left|f\left(\frac{\tilde{r}}n\right) - f\left(\frac{r}n\right)\right|^p\,dr$$ converge puntualmente a $0$ cuando $n\to\infty$ y está limitada de nuevo por $2^p\|f\|_{L^P}^p$ por lo que por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue tenemos $$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \int_0^1 \left|f\left(\frac{\tilde{r}}n\right) - f\left(\frac{r}n\right)\right|^p\,dr\,d\tilde{r} = \int_0^1 \left(\lim_{n\to\infty}\int_0^1 \left|f\left(\frac{\tilde{r}}n\right) - f\left(\frac{r}n\right)\right|^p\,dr\right)d\tilde{r} = 0$$
