Dejemos que $A$ sea la matriz $ A = \left( \begin{array}{cc} a & c\\ 0 & a \\ \end{array} \right)$ con $a, c \in \mathbb{R} $ . ¿Podemos imponer alguna condición a $ a $ y $c $ para que pueda ser diagonalizado. En otras palabras, ¿podemos encontrar la matriz $P$ tal que $PAP^{-1}$ es una matriz diagonal. He intentado tomar ciertas condiciones como si $a =0$ , $a = c$ y tomando cierto valor de $a$ y $c$ . Entonces llegué a la conclusión de que la matriz anterior no puede ser diagonalizada? ¿Estoy en lo cierto? Quiero una explicación adecuada.
Respuestas
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Esta matriz puede ser diagonalizada si y sólo si $c=0$ . Obsérvese que el polinomio característico es $P(\lambda) = (\lambda-a)^2$ Así que $a$ es el único valor propio. Si $c \ne 0$ el espacio nulo de $A - a I = \pmatrix{0 & c\cr 0 & 0\cr}$ es sólo unidimensional, ya que está atravesado por $\pmatrix{1 \cr 0\cr}$ Así que $A$ no es diagonalizable (un diagonalizable $n \times n$ matriz debe tener $n$ vectores propios linealmente independientes). Si $c = 0$ la matriz ya es diagonal.
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Tenga en cuenta que para la matriz que tiene, $$A = \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & a\end{pmatrix},$$ el valor propio es $a$ y la multiplicidad algebraica del valor propio es $2$ .
Para que la matriz sea diagonalizable, la multiplicidad geométrica del valor propio debe ser también dos, es decir, el número de vectores propios distintos correspondientes al valor propio $a$ también debe ser $2$ .
Sin embargo, el valor propio $a$ sólo produce un eigenvector $x$ tal que $$\begin{pmatrix} a & c \\ 0 & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}.$$ Resolviendo, obtenemos el único vector propio como $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
