Convergencia de la serie con prueba integral

Question

Dado que la siguiente serie es convergente, determina los valores de p.

$$\sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\log(n))^p}$$

Hasta ahora lo que he hecho es usar la prueba integral, para usar la prueba integral, pongo p $\in(0, \infty)$ para que f(x) sea decreciente.

Por lo tanto, tengo:

$$\int_{2}^{\infty}f(x)dx=\dfrac{1}{(p-1)[\log(2)]^{1-p}}$$ que existen para $p\neq1$ .

Así que mi respuesta es $p\in(1,\infty)$ Quizás mi pregunta sea estúpida (lo siento), pero ¿estoy en el camino correcto, no he cometido ningún error?

gracias

Answer 1

La integral con la que hay que comparar es $$\int_2^{\infty}\dfrac{dx}{x\ln^p(x)} = \int_{\ln2}^{\infty} \dfrac{dt}{t^p} = \left. \dfrac{t^{1-p}}{1-p}\right \vert_{\ln2}^{\infty} = - \dfrac{(\ln2)^{1-p}}{1-p} + \lim_{t\to \infty} \dfrac{t^{1-p}}{1-p}$$ El límite sólo existe para $p>1$ y no existe para $p \leq 1$ . Por lo tanto, la serie $$\sum_{n=2}^{\infty} \dfrac1{n\ln^p(n)}$$ converge para $p>1$ y diverge para $p \leq 1$ .