Dejemos que $f:X \to Y$ sea un morfismo plano de esquemas integrales proyectivos noeterianos. ¿Existe alguna condición conocida para un morfismo $Z \to Y$ bajo el cual el producto de fibra resultante $X \times_Y Z$ ¿sigue siendo integral?
Respuesta
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Si $Z$ es integral, $Z \to Y$ es dominante, y el campo de la extensión de las fracciones $k(Y) \to k(Z)$ es puramente trascendental, estás bien.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que el mapa del producto fibra a $Z$ sigue siendo plana, y por tanto libre de torsión, por lo que si hay divisores cero en cualquier fibra, lo son en la fibra genérica. Así que podemos sustituir la cuestión con el cambio de base de $k(Y)$ à $k(Z)$ . Podemos incrustar el anillo de funciones en $X$ en $k(X)$ y trabajar con $k(X) \otimes_{k(Y)} k(Z)$ . Pero esto se incrusta en el campo dado por la adición de los generadores de $k(Z)$ como trascendentales independientes de los elementos de $k(X)$ por lo que es un dominio integral.
Por otro lado si el campo de extensión de las fracciones contiene una extensión algebraica estás en problemas, porque puedes tomar $X$ para ser la normalización de $Y$ en esa extensión algebraica.
Si el mapa no es dominante, no estoy seguro de que siempre haya contraejemplos, pero ciertamente hay muchos mapas no dominantes que no preservan la integralidad.
