¿Pregunta sobre la suma de xi menos el cuadrado de la barra de x?

Question

Estoy revisando mis notas en clase y veo que está escrito que $$S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum(X_i - \bar{X})^2} $$ que es entonces igual a $$S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\sum X_i ^2 - n*\bar{X}^2\right)} $$

¿cómo es posible? He intentado ampliarlo pero no veo cómo funciona

Answer 1

Nota: Para que sea correcta la segunda expresión debe decir $$S = \sqrt{\frac{1}{n-1}\left(\sum X_i ^2 - n*\bar{X}^2\right)} $$

Para ver esto, procedemos a un cálculo directo:

$$\sum (X_i-\overline X)^2=\sum X_i^2 -2\overline X\sum X_i+n\overline X^2$$

$$=\sum X_i^2-2n\overline X^2+n\overline X^2=\sum X_i^2-n\overline X^2$$