¿Cuál es la intuición detrás del isomorfismo Choi-Jamiolkowski?

Question

¿Cuál es la intuición detrás de la Isomorfismo de Choi-Jamiolkowski ? Dice que con cada superoperador $\mathbb{E}$ podemos asociar un estado dado por una matriz de densidad

$$ J(\mathbb{E}) = (\mathbb{E} \otimes 1) (\sigma)$$

donde $\sigma = \sum_{ij} | ii \rangle \langle jj |$ es la matriz de densidad de algún estado maximamente enredado $\sum_{i} | ii \rangle$ .

Y entonces la acción del superoperador es igual a

$$\mathbb{E}(\rho) = \operatorname{tr}_2(J(\mathbb{E}) \cdot 1 \otimes \rho^T).$$

¿Qué sentido tiene esto? ¿Cómo se utiliza en la práctica? ¿Es para simular la acción del canal $\mathbb{E}$ ¿preparando primero un estado específico? Realmente no entiendo la intuición que hay detrás de este concepto.

Answer 1

La intuición

Consideremos un canal $\mathcal E$ que queremos aplicar a un estado $\rho$ . (Esto podría ser igualmente parte de un sistema más grande.) Ahora considere el siguiente protocolo para aplicar $\mathcal E$ à $\rho$ :

1. Denote el sistema de $\rho$ por $A$ . Añade un estado de máximo enredo $|\omega\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{D}}\sum_{i=1}^D|i,i\rangle$ de la misma dimensión entre sistemas $B$ y $C$ :

   

2. Ahora los sistemas de proyectos $A$ y $B$ en $|\omega\rangle$ :

   

   [Esto puede entenderse como un teletransporte en el que sólo tenemos que considerar el resultado "bueno", es decir, en el que no tenemos que hacer una corrección de Pauli (generalizada) sobre $C$ Véase también la discusión].
   Nuestra intuición sobre el teletransporte (o un simple cálculo) nos dice que ahora tenemos el estado $\rho$ en el sistema $C$ :

   

3. Ahora podemos aplicar el canal $\mathcal E$ à $C$ , dando lugar al estado deseado $\mathcal E(\rho)$ en el sistema $C'$ :

   

Sin embargo, los pasos 2 y 3 se conmutan (2 actúa sobre $A$ y $B$ y 3 actos en $C$ ), por lo que podemos intercambiar la ordenación y sustituir 2+3 por 4+5:

4. Aplicar $\mathcal E$ à $C$ que es la parte derecha de $|\omega\rangle$ :

   

   Esto da lugar a un estado $\eta=(\mathbb I\otimes \mathcal E) (|\omega\rangle\langle\omega|)$ que no es más que el estado Choi de $\mathcal E$ :

   

   (Este es el paso 3 original).

5. Ahora podemos llevar a cabo el paso original 3: Proyecto $A$ y $B$ en $|\omega\rangle$ :

   

   Haciendo esto, obtenemos $\mathcal E(\rho)$ en $C'$ :

   

Los pasos 4 y 5 son exactamente el isomorfismo Choi-Jamiolkowski:

• El paso 4 nos dice cómo obtener el estado de Choi $\eta$ para un canal $\mathcal E$
• El paso 5 nos dice cómo podemos construir el canal a partir del estado

Si se repite la operación matemática, se obtiene fácilmente la expresión para obtener $\mathcal E$ de $\mathcal \eta$ que se da en la pregunta: $$ \begin{align*} \mathcal E(\rho) &= \langle \omega|_{AB}\rho_A\otimes \eta_{BC}|\omega\rangle_{AB}\\ & \propto \sum_{i,j} \langle i|\rho_A|j\rangle_{A} \langle i|_B\eta_{BC} |j\rangle_B \\ & = \mathrm{tr}_B[(\rho_B^T\otimes \mathbb I_C) \eta_{BC}]\ . \end{align*} $$

Discusión

La intuición anterior está estrechamente relacionada con la computación cuántica basada en la teletransportación y la computación cuántica basada en la medición. En la computación basada en la teletransportación, primero preparamos el estado Choi $\eta$ de una puerta $\mathcal E$ de antemano, y posteriormente "teletransportarse a través de $\eta$ ", como en el paso 5. La diferencia es que no podemos postseleccionar el resultado de la medición, por lo que tenemos que permitir todos los resultados. Es decir, en función del resultado $k$ hemos implementado (para los qubits) el canal $\mathcal E(\sigma_k \cdot \sigma_k)$ , donde $\sigma_k$ es una matriz de Pauli, y generalmente $\mathcal E$ es un unitario. Si elegimos nuestras puertas con cuidado, tienen "bonitas" relaciones de conmutación con las matrices de Pauli, y podemos dar cuenta de ello en el curso de la computación, al igual que en la computación basada en medidas. De hecho, la computación basada en la medición puede entenderse como una forma de hacer computación basada en el teletransporte de manera que en cada paso sólo se permiten dos resultados en el teletransporte y, por tanto, sólo puede producirse una corrección de Pauli.

Aplicaciones

En resumen, el isomorfismo Choi-Jamiolkowski permite mapear muchas afirmaciones sobre estados a afirmaciones sobre canales y viceversa. Por ejemplo, un canal es completamente positivo exactamente si el estado de Choi es positivo, un canal rompe el enredo exactamente si el estado de Choi es separable, y así sucesivamente. Evidentemente, el isomorfismo es muy sencillo y, por tanto, se podría transferir igualmente cualquier prueba de canales a estados y viceversa; sin embargo, a menudo es mucho más intuitivo trabajar con uno u otro y transferir los resultados más adelante.

Answer 2

Así es como yo lo he entendido y tal vez le resulte útil:

Suponga que tiene un mapa (canal) $\Phi$ que actúa sobre un sistema $A$ . Si $A$ existe en el estado $\rho$ podemos escribir,

$$\Phi(\rho) = \Phi(\rho_{ij}|i\rangle\langle j|) = \rho_{ij}\Phi(|i\rangle\langle j|)$$

Donde el último paso anterior se debe a que la mecánica cuántica es una teoría lineal. Esto significa que conociendo las matrices $\Phi(|i\rangle\langle j|)$ para cada $i$ y $j$ nos ayuda a definir la acción del mapa sobre cualquier matriz de densidad general y, por tanto, nos ayuda a definir el propio mapa.

Nota: $\Phi(|i\rangle\langle j|)$ anterior es una cantidad sin sentido físico porque $|i\rangle\langle j|$ no es, en general, una matriz de densidad válida. Por ahora, dejemos que represente simplemente una de las matrices que representan el mapa $\Phi$ y lo que puede significar físicamente lo veremos más adelante.

Ahora suponga que tiene dos sistemas de la misma dimensión como $A$ . Usted tiene $A \otimes B$ que se ha preparado en el estado de Choi dado por $|\Psi\rangle = \Sigma_i |i_Ai_B\rangle $ . Consideremos la acción del mapa $\Phi \otimes I$ (que es un mapa de transformación válido) en este sistema bipartito.

$$\Phi \otimes I(\Sigma_{ij}|i_Ai_B\rangle\langle j_Aj_B|) = \Sigma_{ij}\Phi(|i_A\rangle\langle j_A|)|i_B\rangle\langle j_B| $$

Y suponga que es capaz de realizar físicamente la medición $\langle i_B|\sigma |j_B\rangle$ en el estado anterior lo que se obtiene es $\Phi(|i\rangle\langle j|)$ sí mismo.

Por lo tanto, todo lo relacionado con $\Phi$ se codifica en el estado $\Phi \otimes I(|\text{Choi_state}\rangle)$ y viceversa.