Construir una proyección ortogonal para el plano (forma matricial)

Question

Actualmente estoy tratando de ponerme al día con mi nivel de matemáticas de la universidad (me he alejado un poco), utilizando algunas tareas que nuestro profesor nos proporcionó. Ahora, una de las tareas es así (el idioma original es el alemán, por lo que la traducción puede ser inexacta):

Hay un cubo en un $R^3$ espacio con las siguientes coordenadas para sus esquinas: $$ \begin{pmatrix}0\\0\\0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}0\\1\\1 \end{pmatrix}\qquad \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix} $$ Ahora la tarea se divide en dos subpuntos: 1) Construir un plano $E$ para que la proyección ortogonal del cubo sobre $E$ crea un hexágono uniforme (de nuevo, no sé cómo traducir esto). 2) Construir la matriz para esta proyección ortogonal, con las coordenadas adecuadas.

Ahora bien, no estoy pidiendo a nadie que me resuelva los deberes. Estoy un poco atascado aquí - ¿alguien puede darme consejos / esquema de cómo debo abordar este problema? Sé que tengo que rotar el cubo para obtener un hexágono uniforme desde un punto de vista determinado, pero no sé cómo aplicar esto correctamente.

Actualización:

¿Hay alguna forma de obtener la fórmula del plano para $E$ matemáticamente, que no sea utilizando conceptos como "conseguir un cubo físico y probarlo"?

Answer 1

Sugerencia : No hay nada que sustituya a la obtención de un físico cubo y tratando de averiguar cómo cortar para ver un hexágono regular (esta es la palabra, no el hexágono uniforme).

Answer 2

Una pista:

Considere la posibilidad de un avión $\alpha$ que pasa por el origen $O=(0,0,0)$ . Si este plano es ortogonal al vector de la diagonal principal del cubo $\vec D=(1,1,1)^T$ que la proyección ortogonal del vértice $D$ coincide con $O$ y, por simetría, las proyecciones de todos los demás vértices son equidistantes de $O$ y forman un hexágono regular.

Se puede demostrar esto observando que la proyección de un vértice $\vec X$ está dada por: $$ \vec X'=\vec X- \frac{(\vec X, \vec D)}{|\vec D|^2} \vec D $$ por lo que la matriz que representa la proyección es: $$ \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2&-1&1\\ -1&2&-1\\ -1&-1&2 \end{pmatrix} $$

Obviamente, por simetría, cualquier plano ortogonal a una diagonal principal puede funcionar.