Sobre la reducibilidad de $x^4+ a$ sobre los racionales

Question

Dejemos que $a \in \mathbb{Z^{+}}$ . Demostrar que $x^4+a$ es reducible sobre $\mathbb{Q}$ si y sólo si $a=4b^4$ para algún número entero $b$ .

Mi idea para una implicación era asumir la reducibilidad y escribir $x^4+a = (x^2+\alpha_1x + \beta_1)(x^2+\alpha_2x + \beta_2)$ , dando lugar al sistema de ecuaciones: $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$ , $\beta_1+\beta_2+\alpha_1 \alpha_2 = 0$ , $\alpha_2 \beta_1 + \alpha_1 \beta_2 = 0$ , $\beta_1 \beta_2 = a$ . Pero no fui capaz de llegar mucho más lejos que esto. Este es un problema de práctica para un examen, cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

No se resuelve todo el sistema de una vez. Como el coeficiente cúbico debe ser cero, debemos tener $$ (x^2 + cx + d)(x^2 - cx + e) $$ El coeficiente lineal es $ce - cd,$ y este debe ser cero. Entonces, $c(d-e) = 0.$ Cuando $c=0,$ para obtener el coeficiente cuadrático cero, necesitamos $d+e = 0.$ Así que el caso $c=0$ da $$ x^4 -d^2, $$ que se descarta

El otro caso es $d=e.$ Seguimos con $$ (x^2 + cx + d)(x^2 - cx + d) = x^4 + (2d-c^2)x^2 + d^2 $$ Desde $c,d$ son enteros, tenemos $c = 2 \gamma$ y $d = 2 \gamma^2,$ finalmente $$ (x^2 + 2 \gamma x + 2 \gamma^2) (x^2 - 2 \gamma x + 2 \gamma^2) $$ que se convierte en..........

Answer 2

Otra solución consiste en factorizar primero en factores lineales sobre $\mathbb{C}$ y multiplicar los factores conjugados para obtener los factores cuadráticos reales:

$$X^4 + a = \left(X^2 + ia^{1/2}\right)\left(X^2 - ia^{1/2}\right) = \color{red}{\left(X + \frac{1-i}{\sqrt{2}}a^{1/4}\right)}\color{blue}{\left(X - \frac{1-i}{\sqrt{2}}a^{1/4}\right)}\color{red}{\left(X + \frac{1+i}{\sqrt{2}}a^{1/4}\right)}\color{blue}{\left(X - \frac{1+i}{\sqrt{2}}a^{1/4}\right)}$$ $$ = \color{red}{\left(X^2 + \sqrt{2}a^{1/4}X + a^{1/2}\right)}\color{blue}{\left(X^2 - \sqrt{2}a^{1/4}X + a^{1/2}\right)}$$

donde utilizamos $\sqrt{i} = \pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ y $\sqrt{-i} = \pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}$ .

(también se puede comprobar la factorización directamente sin utilizar números complejos).

De esta expresión se desprende que necesitamos $\sqrt{2}a^{1/4} = 2r$ para algunos $r \in \mathbb{Q}$ lo que implica $a = 4r^4$ .