$\phi^4$ ¿teorías como fermiones?

Question

En 1+1 dimensiones existe una dualidad entre modelos de fermiones y bosones llamada bosonización (o fermionización). Por ejemplo, la teoría de seno-Gordon $$\mathcal{L}= \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{\alpha}{\beta^2}\cos \beta \phi$$ también puede describirse en términos de fermiones como el modelo masivo de Thirring $$\mathcal{L}= \bar{\psi}(i\gamma^\mu-m)\psi -\frac{1}{2}g \left(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi\right)\left(\bar{\psi}\gamma_\mu\psi\right)$$ donde la partícula creada por $\psi$ puede entenderse como un pliegue de sine-Gordon, y la partícula creada por $\phi$ puede entenderse como un estado límite de dos fermiones del modelo de Thirring.

A diferencia de Sine-Gordon, $\phi^4$ $$\mathcal{L}= \frac{1}{2}\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2}m^2\phi^2 -\frac{1}{4}\lambda \phi^4$$ tiene sólo dos vacuas en la fase de simetría rota. Me pregunto si aquí también podemos escribir operadores de creación fermiónicos para los quiebres, y reescribir la teoría como una teoría de campo local de los campos de los quiebres.

La razón por la que creo que podemos es que podemos hacer esto para el modelo cuántico de Ising que tiene mucho en común con $\phi^4$ . El modelo de Ising se define en una cadena de espín de 1d, y los estados básicos en la fase de simetría rota son aquellos en los que la 3ª componente de los espines apuntan todos hacia arriba o todos hacia abajo.

Los operadores $\psi_1(i),\psi_2(i)$ se definen en cada punto de la red $i$ en términos de matrices de Pauli como $$\psi_1(i) = i\sigma_2(i)\prod_{\rho=-\infty}^{i-1}\sigma_1(\rho)$$ $$\psi_2(i) = \sigma_3(i)\prod_{\rho=-\infty}^{i-1}\sigma_1(\rho)$$ La parte del producto infinito actúa para voltear la 3ª componente del espín para crear un pliegue, y la parte de la matriz de Pauli le da las relaciones habituales de anticonmutación fermiónica.

Resulta que en el límite del continuo $\psi_{1,2}$ actúan como dos componentes de un fermión libre de Majorana. ¿Puede $\phi^4$ ¿también se puede expresar en términos de un fermión de Majorana? ¿Cuáles son las relaciones para el campo del fermión de $\phi^4$ que son análogas a las relaciones para $\psi_{1,2}$ en términos de matrices de Pauli?

Answer 1

Las fluctuaciones cuánticas en los sectores kink de Sin-Gordon y la teoría de la interacción cuártica se describen mediante operadores de Pöschl-Teller sin reflexión, que forman una cadena SUSY con $N$ elementos. La segunda cuantización se obtiene entonces por la descomposición espectral de aquellos operadores que están conectados a través de operadores de aniquilación y creación. Sin Gordon corresponde a $N=1$ y $\Phi^4-$ Teoría a $N=2$ . Debido a las similitudes de la estructura cuántica de ambos sistemas, debería existir la posibilidad de construir un modelo de fermiones que corresponda a la teoría cuártica también para ciertos valores de la constante de acoplamiento. Un punto interesante es que las funciones propias de los operadores de creación para el sistema N tienen la misma estructura que el $N$ función de partición del cuerpo en el modelo de Ising, calculada en la aproximación del campo medio.

Edición: En forma abreviada: Si se expande alrededor del pliegue, el término de segundo orden se llama operador de fluctuación

$$\frac{\delta^2S_E}{\delta\phi(x)\delta\phi(x')}|_{\phi_{kink}=\phi}=[-\partial^2_x+V''(\phi_{kink}(x))]\delta(x-x')$$

Los operadores de ambos sistemas son de la forma

$$F=-\partial^2_x+N^2m^2-N(N+1)m^2sech^2(mx)$$ . Con los espectros

$$spec(F)=\{\omega^2_n\}_{n=0,...,l-1}\cup\{\omega^2_l\}_{l=N}\cup\{k^2+N^2m^2\}_{k\in\mathbb{R} }$$ Se trata de una cadena de operadores supersimétricos. Otra motivación para SUSY es esta: El kink forma una superficie equipotencial en el espacio de configuración del campo debido a su invariancia traslacional. Esto significa que hay un parámetro, donde bajo el cambio de él la acción permanece constante. Así que las fluctuaciones desaparecen. De este hecho se deduce que el modo cero del operador $F$ tiene que ser la derivada a lo largo de ese parámetro de la solución clásica, que es una función monótona, por lo que la derivada no tiene nodos y por lo tanto tiene que ser el estado básico de un sistema cuántico supersimétrico. Si se conoce el estado básico de tal sistema se puede evaluar el superpotencial junto con los operadores de escalera y recuperar el operador de fluctuación a partir de $F=A^\dagger_NA_N$ .

$$A^\dagger_N=-\partial_x+Nmtanh(mx)$$ $$A_N=\partial_x+Nmtanh(mx)$$

El sistema N tiene $N-1$ estados ligados que son todos suaves y decaen más rápido hacia el infinito que cualquier polinomio.

Sin-Gordon (normalizado):

$\omega^2_0=0$ $$\psi_0(x)=\sqrt{\frac{m}{2}}sech(mx)$$

$\phi^4$ (normalizado):

$\omega^2_0=0$ $$\psi_0(x)=\sqrt{\frac{3m}{4}}sech^2(mx)$$ $\omega^2_1=3m^2$ $$\psi_1(x)=\sqrt{\frac{3m}{2}}tanh(mx)sech(mx)$$

Y las funciones propias normalizadas y generalizadas para la parte continua del espectro, respectivamente

$k\geq0$ $$Y_k(x)=\frac{(tanh(mx)-ik)e^{ikx}}{\sqrt{k^2+m^2}}e^{i\delta_k}$$ $k<0$ $$Y_k(x)=\frac{(tanh(mx)-ik)e^{ikx}}{\sqrt{k^2+m^2}}e^{-i\delta_k}$$

y $k\geq0$

$$Y_k(x)=\frac{(-k^2-3imktanh(mx)+4m^2+6m^2sech^2(mx))e^{ikx}}{\sqrt{(k^2+m^2)(k^2+4m^2)}}e^{i\delta_k}$$

$k<0$

$$Y_k(x)=\frac{(-k^2-3imktanh(mx)+4m^2+6m^2sech^2(mx))e^{ikx}}{\sqrt{(k^2+m^2)(k^2+4m^2)}}e^{-i\delta_k}$$

donde $\delta_k$ son los factores de fase. Estas funciones se pueden encontrar fácilmente bajo el uso de la estructura de escalera y un ansatz de ondas planas. Forman un conjunto de funciones propias generalizadas bajo la construcción de un triple de Gelfand. La segunda cuantificación para los sectores de vacío es ahora directa como en el caso libre, pero el sector de las curvas es un poco complicado en términos de la construcción del espacio de fock y la introducción de una transformada de Fourier distorsionada asociada con las funciones propias generalizadas. También debe quedar claro que los modos nulos causan algunos problemas con respecto a las divergencias del hamiltioniano. Deben ser eliminados por medio de un ordenamiento normal con respecto al kink, lo que se denomina representación kink, y existe un mapa unitario entre la representación kink y la representación de vacío que involucra la corrección semiclásica de la masa de 1 lazo. Básicamente los campos y los momentos conjugados en la representación de Heisenberg asociados a la cadena SUSY se ven así después de mucha lucha.

$$\phi(x,t)=-\sqrt{M_{cl}}\mathcal{X}\psi_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{\sqrt{\omega_n}}(a_n(t)+a^{\dagger}_n(t))\psi_n+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\mathrm {\frac{1}{\sqrt{\omega_k}}}(a_k(t)Y_k(x)+a^{\dagger}_k(t)\overline{Y_k(x)})$$

$$\pi(x,t)=-\frac{\mathcal{P}}{\sqrt{M_{cl}}}\psi_0-\displaystyle\sum_{n=1}^{N-1} \frac{i\sqrt{\omega_n}}{\sqrt{2}}(a_n(t)+a^{\dagger}_n(t))\psi_n+\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\mathrm {\frac{-i\sqrt{\omega_k}}{\sqrt{2}}}(a_k(t)Y_k(x)-a^{\dagger}_k(t)\overline{Y_k(x)})$$

Estos satisfacen la RCC para todas las funciones de Schwartz y se puede demostrar que existen espacios de fock en los que los hamiltonianos asociados a los sistemas son operadores autoadjuntos. Tengo que volver a leer el artículo de Coleman, pero en principio debería ser posible construir un sistema dual de fermiones para cualquiera de los elementos de la cadena, como demostró Coleman para Sin-Gordon en los años 70.

Edición: Tengo que frenar un poco mi entusiasmo porque no existe ninguna configuración multikink en $\phi^4$ como está presente en Sin-Gordon. Tal vez habría que concentrarse en el gas diluido de kink en $\phi^4$ si alguien busca una configuración de campo fermiónica dual a las configuraciones de campo escalar. Pero ese modelo de fermiones no puede ser un sistema multipartícula si se quiere que tenga la misma dualidad que tienen el modelo de thirring masivo y el modelo de sin gordon, porque no hay soluciones con carga topológica mayor que $\pm 1$ debido a la estructura del vacío y la carga está asociada al número del fermión. Si existe una dualidad tiene que ser de naturaleza completamente diferente.

Answer 2

Como se sabe, el modelo de Ising de campo transversal en 1D puede ser mapeado a fermiones de Majorana, y la fase crítica corresponde a un Majorana libre. Por otra parte, sabemos que el Majorana libre puede ser bosonizado a un $(\nabla \phi)^2$ (bosón sin masa). Ya has escrito el mapeo de los fermiones a los espines, así que sólo tienes que encontrar cómo se mapean exactamente los espines en la teoría de los bosones. El libro de Sachdev sobre transiciones de fase cuántica probablemente contenga una discusión sobre esto.