Si cada continuo $f:X\to X$ tiene $\text{Fix}(f)\subseteq X$ cerrado, debe $X$ ¿es Hausdorff?

Question

Dada una función $f:X\to X$ , dejemos que $\text{Fix}(f)=\{x\in X\mid x=f(x)\}$ .

En un reciente comentario Me preguntaba si $X$ es Hausdorff $\iff$ $\text{Fix}(f)\subseteq X$ es cerrado para cada continuo $f:X\to X$ (la implicación hacia adelante es un resultado simple y conocido). A primera vista me pareció plausible, pero no tengo ninguna razón particular para pensarlo. También vuelvo a poner el comentario de Qiaochu a continuación para que sirva de referencia:

Me sorprendería mucho que esto fuera cierto, pero no parece fácil construir un contraejemplo. Cualquier contraejemplo tiene que ser infinito y $T_1$ pero no Hausdorff, y no tengo buenas construcciones para tales espacios que no resulten en una enorme colección de endomorfismos...

¿Existe un espacio no Hausdorff $X$ para lo cual $\text{Fix}(f)\subseteq X$ es cerrado para cada continuo $f:X\to X$ ?

Answer 1

Permítanme proponer el siguiente contraejemplo:

Toma $X = \overline{\mathbb Q}$ la compactación de un punto de $\mathbb Q$ . Este espacio no es Hausdorff, ya que $\mathbb Q$ no es localmente compacto (el problema es $\infty$ ).

Ahora dejemos que $f: \overline{\mathbb Q} \to \overline{\mathbb Q}$ sea una función continua, y que $x\in \overline{\mathrm{Fix}(f)}$ sea un punto arbitrario en el cierre de $\mathrm{Fix}(f)$ .

Caso I: Supongamos que $\infty \in \mathrm{Fix}(f)$ . Entonces, o bien $x = \infty$ o debemos tener que la restricción $f|_{\mathbb Q}: \mathbb Q \to \overline{\mathbb Q}$ es continua. Pero entonces también $x \in \overline{\mathrm{Fix}(f|_\mathbb{Q})} \subset \mathrm{Fix}(f|_\mathbb{Q}) \cup \{\infty\}= \mathrm{Fix}(f)$ .

Caso II: Supongamos ahora que $\infty \notin \mathrm{Fix}(f)$ y $x\ne \infty$ . Entonces existe una secuencia convergente $x_n \to x$ con $x_n\in \mathrm{Fix}(f)$ . Pero luego por continuidad: $f(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n) = \lim_{n\to \infty} x_n = x$ .

Así que sólo queda un caso:

¿Podemos tener $x=\infty \in \overline{\mathrm{Fix}(f)}$ pero al mismo tiempo $\infty \notin \mathrm{Fix}(f)$ ?

Si este fuera el caso, entonces $\mathrm{Fix}(f)$ definitivamente no sería compacto. Pero esto implica que debe haber una secuencia en $x_n \in \mathrm{Fix}(f) \subset \mathbb Q$ sin subsecuencia convergente, es decir, sin subsecuencia convergente en $\mathbb Q$ ¡!

Pero entonces tal secuencia tiene una subsecuencia que converge a $\infty$ lo que implica que $\infty \in \mathrm{Fix}(f)$ .

Esperando no haber cometido algún error tonto, esto concluye el argumento de que este $X$ es efectivamente un contraejemplo.

Answer 2

Aunque creo que el contraejemplo de Sam está bien, me gustaría profundizar en el comentario de ccc a la respuesta de Sam.

Recordemos que un espacio topológico $X$ se llama Fréchet si para cada $A\subseteq X$ y cada punto $x\in \bar{A}$ existe una secuencia de puntos de $A$ convergiendo a $x$ .

Obsérvese que si $X$ es Fréchet con límites secuenciales únicos, entonces $\text{Fix}(f)$ es cerrado para cada continuo $f:X\to X$ . De hecho, si $X$ es un espacio de este tipo, $f:X\to X$ es continua y $x\in\overline{\text{Fix}(f)}$ , entonces por Fréchetness de $X$ encontramos una secuencia $(x_n)_{n=1}^\infty$ de puntos de $\text{Fix}(f)$ convergiendo a $x$ . Entonces $f(x)=f(\lim_{n\to\infty} x_n)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}x_n=x$ por la continuidad de $f$ y la unicidad de los límites secuenciales en $X$ . Esto significa que $x\in\text{Fix}(f)$ y por lo tanto $\text{Fix}(f)$ está cerrado.

Para dar una respuesta positiva a la pregunta queremos encontrar un espacio de Fréchet no-Hausdorff con límites secuenciales únicos. La compactación de un punto de los racionales sugerida por Sam es un espacio de este tipo. Otro ejemplo es el ejemplo 6.2 de S.P. Franklin, Spaces in which sequences suffice II, Fund. Math. 61 (1967) que está disponible aquí .

Answer 3

Ya está arreglado. El LMH7322 tiene salidas ECL. Es capaz de proporcionar niveles LVDS, pero no es un verdadero LVDS. Por lo tanto, las salidas necesitan una terminación a tierra (u otra tensión inferior a VCCO-2V).

He sustituido la única resistencia de terminación de 100 ohmios entre las salidas por dos de 50 ohmios, cada una a tierra, y ahora la salida es la esperada. Por lo tanto, hay un par de problemas con el modelo en el simulador: el dispositivo funciona bien con VCCI a +3,4V (como en la primera figura) y el modelo no modela las salidas como ECL.

Gracias a todos por sus comentarios.