Es $\langle abab^{-1}\rangle$ un subgrupo normal de $\langle a,b|\varnothing\rangle$ ?

Question

Dejemos que $G=\langle a,b | \varnothing\rangle$ y que $H\leq G$ s.t $H=\langle abab^{-1}\rangle$ . Es $H\triangleleft G$ ? Hago esta pregunta para entender el grupo fundamental de la botella de Klein que es $\langle a,b|abab^{-1}\rangle$ .

Answer 1

$H$ no es normal. Considere la conjugación por $a$ : $a(abab^{-1})a^{-1}=a^2bab^{-1}a^{-1}$ que no es una potencia del elemento original.

Así que para saber cuál es ese grupo fundamental, hay que hacer un cociente por el cierre normal del subgrupo generado por $abab^{-1}$ . En general, esto es algo difícil de conseguir.

Answer 2

Quiere saber si el subgrupo $\langle abab^{-1}\rangle$ es un subgrupo normal de $F(a, b)$ . Como ya se ha señalado, esto es falso. Sin embargo, es realmente "muy falso", en el sentido de que $\langle abab^{-1}\rangle$ es un malnormal subgrupo de $F(x, y)$ .

Un subgrupo $H\leq G$ se llama malnormal si $H\cap H^g\neq 1\Rightarrow g\in H$ .

La razón por la que $\langle abab^{-1}\rangle$ es malnormal es porque es un subgrupo cíclico máximo de un grupo libre no abeliano. Un subgrupo $\langle w\rangle$ es cíclico máximo si no está contenido en ningún otro subgrupo cíclico, por lo que $w\neq v^k$ para $k\neq 0$ . Es fácil comprobar que $abab^{-1}$ no es una potencia propia de ningún otro elemento, por lo que el subgrupo es cíclico máximo.

Para ver pourquoi $\langle abab^{-1}\rangle$ es mal normal, tenemos lo siguiente:

Teorema : Dejemos que $C=\langle w\rangle$ sea algún subgrupo cíclico de un grupo libre finitamente generado $F(X)$ , $|X|\geq 2$ , de tal manera que $C$ es un subgrupo cíclico máximo. Entonces $C$ es maligno.

Prueba : Supongamos lo contrario y busquemos una contradicción. Entonces, existe algún $i>0$ y algunos $u\in F(X)$ tal que $u^{-1}w^iu=w^{j}$ . Tenga en cuenta que $|i|=|j|$ (¿por qué?). Si $i=j$ entonces tenemos $u\in \langle w\rangle$ como elementos de un grupo libre conmutan si y sólo si están en el mismo subgrupo cíclico máximo. Por lo tanto, $i=-j$ . Por lo tanto, $u^{-1}w^iu=w^{-i}$ Así que $u^{-1}w^{-i}u=w^{i}$ . Entonces, $u^{-2}w^iu^2=u^{-1}(u^{-1}w^iu)u=u^{-1}w^{-i}u=w^i$ y así $u^2\in C$ . Como $C$ es cíclico máximo, $u\in C$ . Así, $C$ es maligno en $F(X)$ según sea necesario.

Answer 3

Eric Auld ha dado una buena respuesta al problema original. En términos más generales, ya que estamos hablando de grupos fundamentales, hay una buena manera de llegar a los subgrupos normales de $\langle a, b\rangle$ . El grupo fundamental de la unión de círculos de un punto $\mathbb{S}^1\vee\mathbb{S}^1$ es isomorfo al grupo libre sobre 2 letras. Si se puede clasificar el $n$ -espacios de cobertura doble de $\mathbb{S}^1\vee\mathbb{S}^1$ entonces podrá clasificar el índice $n$ subgrupos de $\langle a,b\rangle$ . Como mínimo, puedes intentar dibujar sólo algunos de ellos para cada $n$ .