Es $(-1)^n$ que se necesita en la serie de potencias de esta función?

Question

Para representar esta función $$f(x)=\frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}$$ como la suma de una serie de potencias.

Mi respuesta es $$\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^{n}\left(\frac{1}{2^{n+1}}+1\right)x^{n}$$ $R=1$ y $I =(-1,1)$ .

Pero el manual de soluciones de Chegg es $$\sum^{\infty}_{n=0}\left(\frac{1}{2^{n+1}}+1\right)x^{n}$$ y $R = 2$ , $I=(-2,2)$ . Lo cual creo que es un error.

Pero sólo quiero volver a comprobarlo con la gente de aquí.

Answer 1

Se tiene, por una descomposición parcial de la fracción, $$ \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2} $$ entonces $$ \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^n,\qquad |x|<1, $$ $$ \frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x}2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}} x^n,\qquad |x|<2, $$ dando

$$ \frac{2 x + 3}{x^{2} + 3 x + 2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(1+\frac{1}{2^{n+1}}\right) x^n,\qquad |x|<1. $$