¿Qué tienen de especial los polilogaritmos para dar lugar a tantas identidades y aplicaciones interesantes?

Question

He oído que Polilogaritmos son cosas muy interesantes. La página de la wikipedia muestra un montón de identidades interesantes. Se supone que estas funciones llamaron la atención de Ramanujan. Además, parece que son importantes en física para varios propósitos como las integrales de Bose-Einstein, que no tengo los conocimientos suficientes para entender. Todo esto es lo que he escuchado de la gente después de preguntar "por qué son interesantes los polilogaritmos".

Así que esta función

$$Li_s (z) = \sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k^s}$$

es muy interesante y tiene muchas propiedades útiles como puedo ver. Especialmente para valores integrales de $s$ .

Lo que me preocupa es lo siguiente.

Dejemos que $f(z) = \sum a_n z^n$ sea analítica dentro del disco unitario. Es decir, el radio de convergencia al menos $1$ . Para simplificar, suponemos que es $1$ es decir,

$$r = \frac{1}{\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} = 1$$

lo que implica que dentro del disco unitario es posible la diferenciación e integración término a término. Dado que $\left( a_n \right)^{1/n}$ va a $1$ como $n$ va a $\infty$ También es cierto que $\left(na_n \right)^{1/n}$ va a $1$ . De la misma manera, $\left(\frac{a_n}{n} \right)^{1/n}$ también va a $1$ . Ahora, definiendo

$$f(z,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n z^n}{n^s}$$

es el caso que $f_{2}(z) = f(z,2)$ y en general iterando, $f_n(z) = f(z, n)$ son analíticas dentro del disco unitario. De hecho, los límites uniformes son válidos para los conjuntos compactos contenidos en el dominio $|z| \leq 1$ y $|s| \leq K$ para la arbitrariedad $K$ y así $f(z,s)$ es analítica en el dominio $D^\circ \times \mathbb C$ , donde $z \in D^\circ$ el disco de la unidad abierta, y $s \in \mathbb C$ .

Así que cualquier función analítica en el disco unitario puede extenderse igual que el logaritmo se extiende a los polilogaritmos. Pero hay una rica teoría sobre los polilogaritmos, y no he oído hablar de ninguna teoría semejante sobre otras funciones analíticas dentro del disco unitario.

Entonces, ¿qué es lo que hace que el polilogaritmo se preste a una teoría extendida de los polilogaritmos que dé tantos resultados? ¿Por qué no resulta una teoría tan interesante para cualquier otra función compleja?

Answer 1

La razón por la que los polilogaritmos son tan importantes/interesantes/ubicuos es que son los ejemplos más simples no triviales de funciones analíticas que subyacen a las variaciones de la estructura mixta de Hodge. Esto se remonta a Beilinson y Deligne.

Una variación de la estructura mixta de Hodge es un artilugio muy sofisticado. Se puede pensar en ella como

1. una bonita ecuación diferencial (la conexión subyacente)
2. sus soluciones (el sistema local subyacente de secciones horizontales) con un $\mathbb{Q}$ -estructura
3. algunos datos adicionales que hacen que la estructura sea muy rígida.

Ejemplos típicos de VMHS en $X$ provienen de la cohomología de familias de variedades parametrizadas por $X$ . Pueden utilizarse para codificar la interacción entre las propiedades topológicas y aritméticas de $X$ .

Por ejemplo, existe una variación de rango 2 de la estructura mixta de Hodge $K \in Ext^1_{VMHS(\mathbb{C}^\times)}(\mathbb{Q},\mathbb{Q}(1))$ en $\mathbb{C}^\times$ conocida como la gavilla de Kummer. El sistema local subyacente $K_{\mathbb{Q}}$ tiene fibra $H_1(\mathbb{C}^\times,\{1,z\};\mathbb{Q})$ en $z$ . La conexión subyacente es un haz vectorial trivial de rango 2 con una conexión nilpotente $$ \nabla = d - \begin{pmatrix} 0 & 0 \cr % \frac{dt}{t} & 0 \end{pmatrix} $$ Los "períodos" se obtienen integrando el coeficiente de la matriz sobre los recorridos $\gamma \in H_1(\mathbb{C}^\times,\{1,z\};\mathbb{Q})$ . Así que obtenemos un el periodo no trivial integrando $\frac{dt}{t}$ sobre los caminos $[1,z]$ es decir, obtenemos determinaciones de $\log(z)$ . Conclusión: tenemos un objeto $K$ en $VMHS(\mathbb{C}^\times)$ "categorizar" la función logarítmica clásica. En cuanto a la aritmética, la trascendencia de $\log(z)$ para los genéricos $z$ refleja el hecho de que $H_1(\mathbb{C}^\times) = \mathbb{Z}$ .

Lo mismo puede hacerse con las funciones de polilogaritmo. La gavilla logarítmica es el álgebra simétrica $Log := Sym(K)$ (corresponde a toda la familia de $\log^n(z)$ , $n\in \mathbb{N}$ ). La gavilla del Polilogaritmo es una extensión canónica $Pol$ de $\mathbb{Q}$ por la restricción de $Log(1)$ a $\mathbb{P}^1\setminus \{0,1,\infty\}$ . Sus periodos codifican la monodromía de las funciones polilogarítmicas de la misma manera que la gavilla de Kummer lo hace para la función logarítmica. Estas son las variaciones unipotentes más elementales de las estructuras mixtas de Hodge.

Ahora hemos "categorizado" las funciones polilogarítmicas clásicas. De hecho, esto puede hacerse a un nivel más fundamental utilizando sólo ciclos algebraicos definidos sobre $\mathbb{Z}$ (esta es la historia motivacional, siendo la variación de la estructura mixta de Hodge sólo una realización del objeto motivacional). Esto tiene consecuencias aritméticas muy interesantes. Por ejemplo, especializando a 1, esto implica que tenemos clases de cohomología motivacional en $H^1(\mathbb{Z},\mathbb{Q}(n))$ cuyas imágenes bajo el regulador de Hodge corresponden a $\zeta(n)$ . Utilizando esta imagen, la conjetura del periodo implica entonces que el $\zeta(2n+1)$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{Q}$ . Para que te hagas una idea de lo poderosa que es esta intuición: ni siquiera podemos demostrar $\zeta(5)$ ¡es irracional!

En conclusión, las funciones polilogarítmicas son interesantes porque corresponden a ciclos algebraicos no triviales. Esto lleva a interacciones entre las propiedades analíticas de las funciones, la aritmética de valores especiales y la geometría algebraica. Muchas funciones clásicas deberían tener interpretaciones similares. Por ejemplo, existe una imagen similar para las funciones Beta y Gamma de Euler.

Answer 2

Una de las razones es que satisface $$\Theta_z f = T_s f $$ donde $\Theta_z = z\frac{\partial}{\partial z}$ y $T_s g(s) = g(s-1)$ (donde se toma $f(s,z) = Li_s(z)$ y es, en cierto sentido, la función no trivial más sencilla que lo satisface. Esta ecuación mixta (de Euler) de primer orden con desplazamiento diferencial se estudió un poco en la década de 1950, pero luego se ignoró durante mucho tiempo. Por supuesto, esa no es la única razón, pero una serie de identidades "extrañas" tienen pruebas más sencillas cuando se miran de esta manera.

Answer 3

Los polilogaritmos tienen interesantes conexiones en la Teoría de las Particiones. Esto se debe principalmente a que una clase de funciones generadoras para las estadísticas de partición bivariante pueden ser aproximadas por polilogaritmos.

Consideremos, por ejemplo, la clase de funciones generadoras con $s>1,$

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty p(n,m)x^n u^m =\prod_{k=1}^\infty \frac{1}{(1-xu^k)^{k^{s-2}}}. $

Cuando $s=2,$ $p(n,m)$ es el número de particiones de $m$ con $n$ partes. Cuando $s=3,$ $p(n,m)$ representa el número de particiones planas de $m$ con rastro $n.$

Para simplificar, supongamos que $1>x>0,$ como $u\to ^-1,$

$\displaystyle \prod_{k=1}^\infty \frac{1}{(1-xu^k)^{k^{s-2}}} \thicksim\sqrt[ - \frac{1}{\zeta(2-s)}]{1-x}\exp(\Gamma(s-1)Li_{s}(x)/(\ln u^{-1})^{s-1}). $

Cuando se utiliza junto con otras técnicas como el Método del Círculo, esta estimación sirve de base para muchos datos sobre $p(n,m).$

En mi cabeza hay tres documentos que utilizan este tipo de estimación: http://www.math.drexel.edu/~rboyer/papers/partitions_experimental.pdf http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-36/1/117.full.pdf http://www.springerlink.com/content/d65348128235x7m1/