Resumen de las representaciones automórficas para $SL(2)/{\mathbf{Q}}$ ?

Question

En resumen: ¿qué dice Labesse-Langlands?

Un poco más preciso: ¿cuáles son las representaciones automórficas cuspidales de $SL_2(\mathbf{A}_{\mathbf{Q}})$ ¿junto con las multiplicidades? Digamos que tengo una lista completa de las representaciones automórficas cuspidales de $GL_2/\mathbf{Q}$ y quiero tratar de deducir lo que está sucediendo para $SL_2$ . Busco "ejemplos concretos de los fenómenos que se producen".

Ahora permítanme mostrar mi ignorancia más plenamente. Lo que entiendo al intentar leer Labesse-Langlands es lo siguiente. La historia local es algo así: si $\pi$ es una representación admisible irreducible suave de $GL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ entonces su restricción a $SL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ es irreducible, o se divide como una suma directa de 2 representaciones no isomorfas, o, ocasionalmente, como una suma directa de 4. Un caso interesante es la serie principal no ramificada con el parámetro de Satake $X^2+c$ para cualquier $c$ Esto se divide en dos trozos (si he entendido bien) (y además son las únicas series principales no ramificadas que no permanecen irreducibles bajo restricción). ¿Tiene precisamente uno de estos trozos un $SL(2,\mathbf{Z}{}_p)$ -¿vector fijo? ¿Y el otro tiene un vector fijo para el otro hiperespecial máximo compacto (más precisamente, para un hiperespecial en la otra clase conj)? ¿Lo he entendido bien?

Paquetes: Local $L$ -son precisamente los factores J-H para $SL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ apareciendo en un irreducible $GL(2,\mathbf{Q}{}_p)$ -representación. Así que tienen el tamaño 1, 2 o 4.

Ahora de forma global. un global $L$ -paquete es un producto restringido de locales $L$ -(es mejor que todos los componentes, excepto los finitos, tengan un vector invariante bajo nuestro hiperespecial compacto que proviene de un modelo integral global). Nótese que los automorfos globales $L$ -paquetes puede ser infinito (porque $a_p$ puede ser 0 para un número infinito de $p$ en el caso de la forma modular). Tengo entendido que, por lo general, un elemento de una forma global $L$ -es automórfico si y sólo si todos ellos lo son, y en este caso, de nuevo, generalmente, cada uno aparece en las formas automórficas con la misma multiplicidad. ¿Cuál es esta multiplicidad? ¿Depende de ella?

Por último, entiendo que el principio anterior (las multiplicidades son todas iguales) falla precisamente cuando $\pi$ se induce a partir de un carácter bruto en una extensión cuadrática de $\mathbf{Q}$ . En este caso parece que hay términos de error en [LL]. ¿Puede alguien explicar un ejemplo explícito en el que se pueda decir con precisión qué elementos del paquete son automórficos, y cuáles son las multiplicidades con las que se dan las representaciones automórficas en el espacio de las formas de cúspide?

Me resulta muy duro leer los papeles de Langlands. Mi instinto normalmente sería presionar y tratar de elaborar algunos ejemplos por mí mismo (que es sin duda lo que haré de todos modos), pero pensé en preguntar aquí primero para ver qué pasa (sé por experiencia que hay una posibilidad no nula de que alguien me señale un sitio web que contenga 10 conferencias sobre Labesse-Langlands...)

Edición: Supongo que no hay razón para no sustituir "cuspidal" por "se encuentra en la serie discreta" con lo anterior (en el sentido de que las preguntas entonces todavía parecen tener sentido, todavía entiendo todo (en algún sentido) para $GL_2$ y todavía no sé las respuestas para $SL_2$ )

Answer 1

Advertencia: no soy un experto, así que podría haber errores importantes en esto.

La multiplicidad es uno para cada elemento del paquete global, en el caso no-CM. En el caso CM, la mitad del paquete tiene multiplicidad uno y la otra mitad tiene multiplicidad cero.

Para la historia general, sugeriría mirar las conjeturas de Arthur, que al menos conjeturalmente dan una imagen muy bonita. En general hay que hablar de paquetes de Arthur, no de paquetes de Langlands. Coinciden en su caso.

Para las representaciones de CM en $SL_2$ , el parámetro global asociado tiene imagen diédrica dentro de $PGL_2(\mathbb{C})$ . Su centralizador $S$ tiene tamaño $2$ . Según Arthur, la obstrucción a que un elemento del paquete global sea automórfico se valora en el dual de $S$ Por lo tanto, la "mitad" es automórfica. Más precisamente, el conjunto de representaciones irreducibles en un $L$ -es un espacio homogéneo principal para un determinado producto de $Z/2Z$ s (de forma obvia: una $Z/2Z$ para cada $p$ donde $a_p = 0$ ; para simplificar, supongamos que la multiplicidad local $4$ no se produce). Los automorfos corresponden exactamente a una de las fibras del mapa de suma a Z/2Z. Así, si tomas una representación automórfica en este paquete, y la cambias en un lugar por el otro elemento del paquete local, ya no será automórfica.

Concretamente: Comenzar con $\Pi$ una representación automórfica para $GL_2$ , asigna por restricción al espacio de formas automórficas para $SL_2$ . Las observaciones anteriores sugieren que este mapa de restricción debe tener un núcleo enorme cuando $\Pi$ es CM. Pero casi se puede ver esto a mano: $\Pi$ es isomorfo a su giro por un cierto carácter cuadrático $\omega$ . Esto, y la multiplicidad uno para $GL_2$ , significa que, para $f \in \Pi$ la función $g \mapsto f(g) \omega(\det g)$ también pertenece a $\Pi$ . Esto obliga a un desvanecimiento extra, aunque no he resuelto los detalles: Por ejemplo, si $\omega$ está en todas partes sin ramificar y $f$ el vector esférico, entonces $f(g) \omega (\det g)$ debe ser proporcional a $f$ Así que $f$ desaparece siempre que $\omega(\det g)$ no es $1$ es decir, varias traducciones de $f$ desaparecen cuando se restringen a $SL_2$ .

Observación/advertencia: Si se trata de la multiplicidad uno, hay otro fenómeno totalmente distinto que hace que falle para $\mathrm{SL}_n, n \geq 3$ : Dos homomorfismos no conjugados de un grupo finito en $\mathrm{PGL}_n$ puede ser conjugado elemento por elemento. Hay un artículo de Blasius sobre esto. No tiene nada que ver con los paquetes.

Answer 2

La multiplicidad de cualquier forma de cúspide en el espectro es uno; esto se deduce del análisis en LL y de los resultados probados en el artículo de Ramakrishnan "Modularity of the Rankin-Selberg L-series and multiplicity one for SL2", en el vol. 152 de Annals. Sin embargo, esto no responde a tu pregunta más sutil sobre los paquetes L.