Demostrar que $B=\{(1,1,4), (1,1,3), (1,-1,2)\}$ es una base del espacio vectorial $\Bbb R^{3}$ .

Question

Demostrar que $B=\{(1,1,4), (1,1,3), (1,-1,2)\}$ es una base del espacio vectorial $\Bbb R^{3}$ .

Para demostrar esto, tengo que demostrar si este conjunto es linealmente independiente y si los vectores en $B$ span $\Bbb R^{3}$ .

$1)$ $\alpha(1,1,4)+\beta(1,1,3)+\gamma(1,-1,2)=0$

$(\alpha, \alpha, 4\alpha)+(\beta,\beta,3\beta)+(\gamma,-\gamma,2\gamma)=0$

El sistema

$\alpha+\beta+\gamma=0$

$\alpha+\beta-\gamma=0$

$4\alpha+3\beta+2\gamma=0$ tiene la solución $\alpha=\beta=\gamma=0$

Así que estos vectores $(1,1,4), (1,1,3), (1,-1,2)$ son linealmente independientes.

$2)$ Ahora no estoy seguro de cómo comprobar estos vectores span $\Bbb R^{3}$ . Me dijeron que hiciera esto:

$\alpha(1,1,4)+\beta(1,1,3)+\gamma(1,-1,2)=(x,y,z)$ $\Rightarrow$

$\alpha+\beta+\gamma=x$

$\alpha+\beta-\gamma=y$

$4\alpha+3\beta+2\gamma=z$

Estoy mostrando que cualquier vector en $\Bbb R^{3}$ puede representarse como combinación lineal de esos tres vectores dados, ¿es así?

¿Qué debo hacer con este sistema de ecuaciones?

Answer 1

$2)$ Ahora no estoy seguro de cómo comprobar estos vectores span $\Bbb R^{3}$ . Me dijeron que hiciera esto:

$\alpha(1,1,4)+\beta(1,1,3)+\gamma(1,-1,2)=(x,y,z)$ $\Rightarrow$

$\alpha+\beta+\gamma=x$

$\alpha+\beta-\gamma=y$

$4\alpha+3\beta+2\gamma=z$

Estoy mostrando que cualquier vector en $\Bbb R^{3}$ puede representarse como combinación lineal de esos tres vectores dados, ¿es así?

¿Qué debo hacer con este sistema de ecuaciones?

Ahora tienes que resolver este sistema para $\alpha,\beta,\gamma$ ( ver más abajo ). Si este sistema tiene una solución, para un $x,y,z$ entonces se ha demostrado que se pueden encontrar valores adecuados de $\alpha,\beta,\gamma$ para "hacer" cualquier $(x,y,z)$ como una combinación lineal de los vectores dados. A continuación, abarcan $\mathbb{R^3}$ .

Tenga en cuenta que este es el manera difícil , manteniéndose cerca de la definición de "base", comprobando si los vectores:

• son linealmente independiente ;
• span el espacio.

Cuando o si has visto algunas propiedades/teoremas relevantes, sabrás que 3 vectores linealmente independientes siempre abarcarán un espacio vectorial de 3 dimensiones - mucho más fácil.

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Para futuras referencias y quizás pueda comprobarlo:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=x \\ \alpha+\beta-\gamma=y \\ 4\alpha+3\beta+2\gamma=z \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} \alpha=-\tfrac{5}{2}x-\tfrac{1}{2}y+z \\ \beta=3x+y-z \\ \gamma=\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{2}y \end{array} \right. $$

Answer 2

Tres vectores linealmente independientes en $\mathbb R^3$ evidentemente, el lapso de tiempo $\mathbb R^3$ . Sólo hay que verificar la independencia lineal.