¿Cómo puede la teoría de categorías ayudar a mi investigación en teoría de conjuntos?

Question

¿Cómo puede la teoría de categorías ayudar a mi investigación en teoría de conjuntos?

Raramente uso la teoría de categorías como tal en mi trabajo actual, y casi nunca se ve teoría de categorías en documentos de investigación en teoría de conjuntos o en conferencias (excepto, por supuesto, cuando el objetivo es aplicar la teoría de conjuntos a la teoría de categorías en lugar de lo contrario). ¿Por qué sucede esto, cuando el lenguaje y el pensamiento categorial han demostrado ser tan exitosos en otras partes de las matemáticas?

Dado que parece haber una comunidad relativamente grande de teóricos de categorías en este sitio, muchos de los cuales parecen saber mucho sobre teoría de conjuntos o al menos tener opiniones al respecto, espero poder obtener algo de información.

Tenga en cuenta que no estoy buscando una razón para hacer teoría de categorías en lugar de teoría de conjuntos. Ya estoy inspirado por una colección de temas, preguntas y resultados dentro de la teoría de conjuntos, que encuentro convincentes y a veces profundos. Lo que quiero saber es si la teoría de categorías puede proporcionarme técnicas para atacar esos problemas.

Answer 1

Creo que esta es una pregunta que no ha sido explorada adecuadamente.

Veo la teoría de conjuntos tipo topos y la teoría de conjuntos tipo ZF como dos caras de la misma moneda. En la teoría tipo ZF, los conjuntos vienen equipados con una relación de "pertenencia" $\in$, mientras que en la teoría tipo topos, no lo hacen. La primera, a la que llamo "teoría de conjuntos material," es el punto de vista estándar de los teóricos de conjuntos, pero la segunda, a la que llamo "teoría de conjuntos estructural," está mucho más cerca de la forma en la que los conjuntos son utilizados por la mayoría de los matemáticos.

Sin embargo, los dos puntos de vista realmente contienen exactamente la misma información. Por supuesto, cualquier teoría de conjuntos material da lugar a una categoría de conjuntos, pero conversamente, como señaló J Williams, a partir del topos de conjuntos se puede reconstruir la clase de relaciones bien fundamentadas. Con adecuados "axiomas de fundación" y/o "contención transitiva" impuestos en cada lado, estas dos construcciones establecen una equivalencia entre "tópicos de conjuntos, hasta la equivalencia de categorías" y "modelos de teoría de conjuntos (materiales), hasta el isomorfismo."

Por supuesto, ocurre con bastante frecuencia en matemáticas que tenemos dos puntos de vista diferentes sobre una noción subyacente, y en tales casos a menudo es muy útil comparar el significado de declaraciones particulares desde ambos puntos de vista. Por lo general, ambos puntos de vista tienen ventajas y desventajas y cada uno puede resolver fácilmente problemas que parecen difíciles para el otro. Por lo tanto, veo un potencial enorme y en su mayoría no explotado aquí, si los teóricos de ZF y los teóricos de topos hablaran más entre sí. ¿Cuánto de la estructura estudiada por los teóricos de ZF puede ser naturalmente vista en lenguaje categórico? ¿Este lenguaje proporciona nuevas perspectivas? ¿Sugiere nueva estructura que aún no ha sido notada?

Un ejemplo es la construcción de nuevos modelos. Muchas de las construcciones utilizadas por los teóricos de conjuntos, como el forcing, modelos con valores booleanos, ultrapotencias, etc. pueden ser vistas de manera muy natural en un contexto topos-teórico, donde la teoría de categorías nos brinda muchas técnicas poderosas. Personalmente nunca entendí el forcing set-teórico hasta que me dijeron que era simplemente la construcción de la categoría de haces en un sitio. Desde esta perspectiva, se puede ver que los objetos "genéricos" en los modelos de forcing realmente tienen una propiedad universal, de modo que, por ejemplo, uno "añade libremente" a un modelo de teoría de conjuntos un tipo particular de conjunto (digamos, por ejemplo, un conjunto con cardinalidad estrictamente entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$), con exactamente la misma propiedad universal que cuando uno "añade libremente" una variable $x$ a un anillo $R$ para producir el anillo de polinomios $R[x].

Por otro lado, algunas construcciones parecen más naturales en el mundo de la teoría de conjuntos material, como el universo constructible de Gödel. No sé cuál es la interpretación categórica de eso. Así que ambos puntos de vista son importantes.

Otro ejemplo es el estudio de cardinales grandes. Muchos o la mayoría de los axiomas de cardinales grandes tienen una expresión natural en términos estructurales. Por ejemplo, existe un cardinal medible si y solo si existe un endofuntor exacto no trivial de $Set$. Y existe una clase propia de cardinales medibles si y solo si $Set^{op}$ no tiene una subcategoría densa pequeña. Al menos algunas personas argumentarían que el principio de Vopenka está formulado de manera mucho más natural en términos categóricos. He preguntado dónde hay endofuntores lógicos no triviales de $Set$; esto parece ser una especie de axioma de cardinal grande, pero no está claro cuán fuerte es. Me parece posible que el pensamiento categórico pueda sugerir nuevos axiomas de este tipo y nuevas relaciones entre los antiguos.

Answer 2

Este no es una respuesta directa a la pregunta, sino más bien una pequeña nota sobre la diferencia entre la teoría de conjuntos como generalmente se hace y la teoría de conjuntos vista a través de las lentes de la teoría de categorías.

Para mí, el aspecto más sorprendente de la teoría de topos fue el descubrimiento de vastas familias de categorías que aparecen en las matemáticas "ordinarias" y que se comportan de manera muy similar a la categoría de conjuntos (denotada por Set).

Se puede revertir el punto de vista y preguntar qué es especial desde un punto de vista categórico acerca de la categoría de conjuntos. Bueno, una respuesta parcial es que Set es bien-puntual, es decir, el terminal es un separador (o generador). Esto significa que cada flecha $f:a\to b$ está determinada de forma única por la familia de puntos $fx:t\to b$, con $t$ el terminal y $x:t\to a$ un punto (global) de $a$. Esta es una versión categórica precisa de nuestra visión de los conjuntos como "montones discretos y sin estructura de arena".

Si hiciéramos la teoría de conjuntos de esta manera, ¿qué sería diferente? Habría al menos una diferencia filosófica importante. No habría un $\in$ global. Dado que el predicado de igualdad de conjuntos está definido por

$X=Y \iff (\forall x, x\in X \iff x\in Y)$

se sigue que no habría un predicado de igualdad global para los conjuntos. Esto puede ser contrario a nuestra concepción de los conjuntos, pero es lo correcto en el mundo de las categorías, porque la igualdad entre objetos no es preservada por equivalencias. El libro Categories, allegories de Freyd / Scedrov contiene un tratamiento formal de un lenguaje invariante bajo equivalencias y una parte considerable del trabajo de M. Makkai en n-categorías está incorporando esta perspectiva en los cimientos de las categorías superiores.

Espero que ayude un poco, saludos.

Answer 3

Una de las razones por las que la teoría de categorías no ha tenido mucho éxito al tratar con la teoría de conjuntos es debido al hecho de que las funciones de conjuntos no preservan la mayor parte de la estructura de un conjunto. Por esto quiero decir que las funciones no preservan $\in$, es decir, no tenemos $S \in T \Rightarrow f(S) \in f(T)$. En la mayoría de los campos en los que la teoría de categorías ha tenido éxito, los morfismos preservan gran parte de la estructura de los objetos.

Debido a que las funciones de conjuntos no preservan $\in, la mayoría de los teóricos de categorías consideran los conjuntos de una manera bastante diferente a los teóricos de conjuntos: para un teórico de categorías, un conjunto es una "bolsa de puntos", en la que la estructura interna de dicha bolsa es irrelevante, solo son relevantes los morfismos entre ellos. Esta es la perspectiva tomada por Lawvere y Rosebrugh en "Sets for Mathematics".

La teoría de topos a menudo se ha considerado como una generalización de los conjuntos, pero yo la veo más como una generalización de las funciones de conjuntos, no de los conjuntos en sí mismos. Para obtener conjuntos en el sentido estándar de $\in$, debes tomar objetos en un topos junto con estructuras de árboles rígidos y bien fundamentados. Consulta a MacLane y Moerdijk - "Sheaves in Geometry and Logic, VI.10" para ver esta perspectiva.

También está el libro de Joyal y Moerdijk llamado "Algebraic Set Theory", que no he leído, pero que creo que aplica métodos de topos y teoría de categorías al estudio de modelos de teoría de conjuntos.

Answer 4

Se ha afirmado en varios lugares que la imposición en lógica es similar o igual que la hacesión. Además, MacLane, Categories for the Working Mathematician, tiene un apéndice titulado "Foundations", con la siguiente declaración: "Sin embargo, las categorías se pueden describir directamente, y luego se pueden utilizar como una posible base para toda las matemáticas, reemplazando así el uso en dicha base de los axiomas habituales de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos."

El resumen en este apéndice es (para mí, al menos) solo un bosquejo informal del punto. Cuando leí esto antes, nunca me quedó claro en qué medida realmente obtienes una alternativa completa a los axiomas de la teoría de conjuntos. (¿O a la lógica de primer orden? ¿O al cálculo proposicional?)

¿O en qué medida algún otro categoría puede ser abordado por axiomas como la categoría de conjuntos? De hecho, en la teoría conjuntos estándar se trabaja con la categoría de ordinales, así como con la categoría de conjuntos. ¿Podrían existir axiomas útiles expresados en términos de la categoría de grupos o anillos o algo así?

Resulta extraño que muchas matemáticas involucren dos formalismos ortogonales lanzados juntos, la teoría de categorías y la teoría de conjuntos. Por ejemplo, para mí personalmente, la distinción entre categorías pequeñas y grandes solo ha sido útil por razones negativas. ¿Cuánto hay de lo que promete MacLane? (Quizás hay mucho y simplemente no lo sé.)

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Bueno, hay un libro que podría ayudar con mi desconcierto, Topoi, el análisis categórico de la lógica, por Robert Goldblatt.

Answer 5

Esto podría haber sido mencionado anteriormente, pero la teoría algebraica de conjuntos es un programa actual en progreso que explora varias preguntas sobre conjuntos desde una perspectiva categórica. Aquí está el enlace: https://www.phil.cmu.edu/projects/ast/